Calcule os limites nos exercícios 1-18.
\lim _{x \rightarrow-1} 3(2 x-1)^{2}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a -1 da expressão 3(2x-1)^{2}. Informação dada:
  • A função considerada é f(x)=3(2x-1)^{2}.
  • O ponto de interesse é x\to -1.
    A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle \lim_{x\to -1} 3(2x-1)^{2}?

Passo 2

Ideia do método: usar propriedades básicas de limites que permitem calcular o limite por substituição quando as funções envolvidas são polinômios, afins ou potências (funções contínuas). Em linguagem prática: se uma função é formada por operações algébricas (soma, produto, potência) de funções contínuas, o limite em um ponto é obtido substituindo o valor do ponto na expressão. Vamos aplicar essas propriedades passo a passo.

Passo 3

Aplicar a propriedade de linearidade/Produto dos limites: o fator constante pode sair do limite, logo
\lim_{x\to -1} 3(2x-1)^{2} = 3 \cdot \lim_{x\to -1} (2x-1)^{2}.
Explicação curta: multiplicar por 3 é uma operação contínua, então o limite do produto é o produto do limite pelo número 3.

Passo 4

Usar que a função g(t)=t^{2} é contínua em toda parte, então o limite do quadrado é o quadrado do limite:
\lim_{x\to -1} (2x-1)^{2} = \left(\lim_{x\to -1} (2x-1)\right)^{2}.
Explicando: aplicar uma função contínua (elevar ao quadrado) após tomar o limite equivale a aplicar a função ao resultado do limite.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to -1} (2x-1). Como 2x-1 é uma função afim (linear mais constante), o limite é dado por substituir x=-1:
\lim_{x\to -1} (2x-1) = 2\cdot(-1) - 1 = -2 - 1 = -3.
Pequena lembrança: para \lim_{x\to a} (ax+b)=a\cdot a + b; aqui a=2, b=-1 e o ponto é x=-1.

Passo 6

Elevar o resultado ao quadrado e multiplicar pelo 3:
\left(\lim_{x\to -1} (2x-1)\right)^{2} = (-3)^{2} = 9,
portanto
3 \cdot \lim_{x\to -1} (2x-1)^{2} = 3\cdot 9 = 27.

Resposta

27

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