Calcule os limites que existem, sabendo que
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-\frac{1}{2} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\frac{1}{2}
\lim _{x \rightarrow 0}(f(x)+g(x))

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre limites quando x tende a 0:
  • \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = -\tfrac{1}{2}.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0} g(x) = \tfrac{1}{2}.
A pergunta é calcular
\lim_{x\to 0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr).

Passo 2

Vamos usar uma propriedade fundamental de limites (vou explicar direitinho): se existem
\lim_{x\to a} f(x)=L\quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} g(x)=M,
então existe
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M.
O que isso quer dizer na prática: se f(x) fica cada vez mais perto de L quando x se aproxima de a, e g(x) fica cada vez mais perto de M, então a soma f(x)+g(x) fica cada vez mais perto de L+M.
Uma justificativa rápida e simples usando desigualdade triangular (sem muita formalidade técnica): para x próximo de a,
\bigl|(f(x)+g(x))-(L+M)\bigr|=\bigl|(f(x)-L)+(g(x)-M)\bigr| \le |f(x)-L|+|g(x)-M|.
Se escolhermos x tal que tanto |f(x)-L| quanto |g(x)-M| sejam pequenos (menores que, por exemplo, \varepsilon/2), então a soma dos dois é menor que \varepsilon. Isso mostra que f(x)+g(x) se aproxima de L+M. Em bom português: aproximando cada função do seu limite, a soma aproxima do somatório dos limites.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, tomamos L=-\tfrac{1}{2} e M=\tfrac{1}{2}. Pelo resultado acima,
\lim_{x\to 0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)+\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr).

Passo 4

Agora faça a conta: somando -\tfrac{1}{2} com \tfrac{1}{2} os termos se cancelam, ficando exatamente zero. Esse é o valor do limite pedido.

Resposta

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