Calcule os limites se existirem:
\lim _{x \rightarrow \pi} \cos \left(\frac{2 x^{3}-4 x^{2}+2 x}{x^{2}-2 x+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \pi} \cos\!\left(\frac{2x^{3}-4x^{2}+2x}{x^{2}-2x+1}\right).
Informações dadas:
  • A função é a composição de \cos(\cdot) com a função racional \dfrac{2x^{3}-4x^{2}+2x}{x^{2}-2x+1}.
  • O ponto onde o limite é pedido é x\to\pi.
    O que devemos encontrar: o valor numérico do limite, caso ele exista.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): se a parte interna da composição tiver limite finito L quando x\to\pi, e se \cos for contínua em L, então
\lim_{x\to\pi}\cos\!\left(\text{interno}\right)=\cos\!\left(\lim_{x\to\pi}\text{interno}\right)=\cos(L).
Explicando continuidade de forma simples: uma função f é contínua em um ponto a quando o limite de f(x) ao se aproximar de a é igual a f(a). A função \cos é contínua para todo x\in\mathbb{R}, portanto podemos trocar limite e \cos sempre que o limite interno existir e for finito.

Passo 3

Vamos analisar a expressão interna
\frac{2x^{3}-4x^{2}+2x}{x^{2}-2x+1}.
Primeiro, fatorar o numerador para ver se há cancelamento com o denominador:
coloca-se 2x em evidência no numerador:
2x^{3}-4x^{2}+2x = 2x\bigl(x^{2}-2x+1\bigr).
Observação: x^{2}-2x+1 é exatamente o polinômio do denominador. Portanto, para x\neq1 (onde não se divide por zero), há simplificação:
\frac{2x^{3}-4x^{2}+2x}{x^{2}-2x+1} = \frac{2x\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)}{x^{2}-2x+1} = 2x.
Isso vale para todo x diferente de 1. Note que o ponto de interesse x=\pi satisfaz \pi\neq1, então a simplificação é válida numa vizinhança de \pi.

Passo 4

Como para x próximos de \pi (e x\neq1) a expressão interna é simplesmente 2x, podemos calcular o limite interno facilmente:
\lim_{x\to\pi}\frac{2x^{3}-4x^{2}+2x}{x^{2}-2x+1} = \lim_{x\to\pi} 2x = 2\pi.
Aqui usei a propriedade de que limites de polinômios (e funções racionais simplificadas) permitem substituição direta — polinômios são contínuos.

Passo 5

Agora aplicamos a continuidade de \cos. Como a parte interna tende para 2\pi e \cos é contínua em 2\pi, vale
\lim_{x\to\pi}\cos\!\left(\frac{2x^{3}-4x^{2}+2x}{x^{2}-2x+1}\right) = \cos\!\left(\lim_{x\to\pi}\frac{2x^{3}-4x^{2}+2x}{x^{2}-2x+1}\right) = \cos(2\pi).

Passo 6

Avaliando \cos(2\pi): lembra que \cos tem período 2\pi e \cos(0)=1, então
\cos(2\pi)=\cos(0)=1.
Portanto o limite existe e é igual a 1.

Resposta

1

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