Calcule os limites se existirem:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função é a composição de
com a função racional . - O ponto onde o limite é pedido é
.
O que devemos encontrar: o valor numérico do limite, caso ele exista.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): se a parte interna da composição tiver limite finito
quando
, e se
for contínua em
, então
Explicando continuidade de forma simples: uma função
é contínua em um ponto
quando o limite de
ao se aproximar de
é igual a
. A função
é contínua para todo
, portanto podemos trocar limite e
sempre que o limite interno existir e for finito.
Passo 3
Vamos analisar a expressão interna
Primeiro, fatorar o numerador para ver se há cancelamento com o denominador:
coloca-se em evidência no numerador:
coloca-se
Observação:
é exatamente o polinômio do denominador. Portanto, para
(onde não se divide por zero), há simplificação:
Isso vale para todo
diferente de
. Note que o ponto de interesse
satisfaz
, então a simplificação é válida numa vizinhança de
.
Passo 4
Como para
próximos de
(e
) a expressão interna é simplesmente
, podemos calcular o limite interno facilmente:
Aqui usei a propriedade de que limites de polinômios (e funções racionais simplificadas) permitem substituição direta — polinômios são contínuos.
Passo 5
Agora aplicamos a continuidade de
. Como a parte interna tende para
e
é contínua em
, vale
Passo 6
Avaliando
: lembra que
tem período
e
, então
Portanto o limite existe e é igual a
.