O enunciado pede o limite quando (x,y) tende a (0,0) da função
\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
A função é definida em todos os pontos com (x,y)\neq(0,0).
Quer-se o valor de \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, se existir.
Passo 2
Primeira exploração por caminhos (isso serve só para intuição, não prova):
Se y=0 então a expressão vira \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x, que tende a 0 quando x\to0.
Se y=mx então \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\dfrac{x^{3}}{x^{2}(1+m^{2})}=\dfrac{x}{1+m^{2}}\to0 quando x\to0.
Se x=0 a expressão vale 0 exatamente.
Vários caminhos dão 0, o que sugere que o limite pode ser 0. Mas atenção: obter o mesmo valor em vários caminhos não é prova; precisamos de um argumento que funcione para todas as trajetórias.
Passo 3
Vamos encontrar uma desigualdade que domine a função e facilite uma prova geral. Para (x,y)\neq(0,0) temos
x^{2}\le x^{2}+y^{2},
portanto
\frac{|x|^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1.
Multiplicando ambos os lados por |x|\ge0 obtemos
\frac{|x|^{3}}{x^{2}+y^{2}}\le |x|.
Como \displaystyle\left|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right|=\frac{|x|^{3}}{x^{2}+y^{2}}, concluímos a desigualdade útil
\left|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le |x|
valendo para todo (x,y)\neq(0,0). Note que no ponto (0,0) a função não está definida, mas o interesse é no limite.
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema do Confronto (squeeze theorem): sabemos que
(Prova \varepsilon-\delta rápida, para ficar totalmente rigorosa.) Seja \varepsilon>0. Escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |x|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon. Pela desigualdade do passo 3,
Isso prova que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (aqui \delta=\varepsilon) tal que \|(x,y)\|<\delta implica \left|\dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}-0\right|<\varepsilon. Assim o limite é 0.
Passo 6
(Comentário alternativo curto por coordenadas polares, só para intuição extra.) Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então