Calcule os limites, se existirem.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede calcular o limite
- A expressão é definida para todo
com ; no ponto a expressão não está definida, mas o limite considera aproximações de pontos diferentes de . - A pergunta é: ao nos aproximarmos de
por qualquer caminho, esse quociente tende a um mesmo número? Se sim, qual é esse número?
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): vamos provar que a função fica entre
e uma quantidade que tende a
quando
. Essa é a ideia do Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para funções de duas variáveis: se
em um entorno de
(exceto possivelmente no próprio ponto) e
, então
. Vou construir essas desigualdades para a função dada.
Passo 3
Construção da desigualdade superior. Primeiro observe que para quaisquer números reais
e
vale a identidade
Dessa igualdade segue imediatamente que
pois
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Passo 4
Usar essa desigualdade para limitar a função original. Para
(onde
) podemos dividir a desigualdade do passo anterior por
e obter
Além disso, o numerador
é sempre não negativo, então
para todo
.
Passo 5
Aplicar o Teorema do Confronto. Sabemos que
pois
quando
. Pelas desigualdades do passo anterior e pelo Teorema do Confronto, segue que
Passo 6
Verificação alternativa (polar) — reforço didático. Pode-se também usar coordenadas polares como um cheque rápido: escrevendo
temos
e
Como
para todo
, segue
e quando
(isto é,
) a expressão vai para
. Isso confirma a conclusão anterior.