Calcule os limites, se existirem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • A expressão é definida para todo (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq0; no ponto (0,0) a expressão não está definida, mas o limite considera aproximações de pontos diferentes de (0,0).
  • A pergunta é: ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer caminho, esse quociente tende a um mesmo número? Se sim, qual é esse número?

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): vamos provar que a função fica entre 0 e uma quantidade que tende a 0 quando (x,y)\to(0,0). Essa é a ideia do Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para funções de duas variáveis: se
g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y)
em um entorno de (0,0) (exceto possivelmente no próprio ponto) e \lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y)=L, então \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=L. Vou construir essas desigualdades para a função dada.

Passo 3

Construção da desigualdade superior. Primeiro observe que para quaisquer números reais x e y vale a identidade
(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}.
Dessa igualdade segue imediatamente que
(x^{2}+y^{2})^{2}\ge 2x^{2}y^{2},
pois x^{4}+y^{4}\ge0. Dividindo ambos os lados por 2 obtemos
x^{2}y^{2}\le \tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{2}.

Passo 4

Usar essa desigualdade para limitar a função original. Para (x,y)\neq(0,0) (onde x^{2}+y^{2}>0) podemos dividir a desigualdade do passo anterior por x^{2}+y^{2} e obter
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}).
Além disso, o numerador x^{2}y^{2} é sempre não negativo, então
0\le \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})
para todo (x,y)\neq(0,0).

Passo 5

Aplicar o Teorema do Confronto. Sabemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} 0 = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{(x,y)\to(0,0)} \tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) = 0,
pois x^{2}+y^{2}\to0 quando (x,y)\to(0,0). Pelas desigualdades do passo anterior e pelo Teorema do Confronto, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Passo 6

Verificação alternativa (polar) — reforço didático. Pode-se também usar coordenadas polares como um cheque rápido: escrevendo
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
temos x^{2}+y^{2}=r^{2} e
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta}{r^{2}} = r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta.
Como \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\le 1 para todo \theta, segue
0\le r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta \le r^{2},
e quando r\to0 (isto é, (x,y)\to(0,0)) a expressão vai para 0. Isso confirma a conclusão anterior.

Resposta

0

Exercícios relacionados