Determine as derivadas parciais das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
O que ele pede: determinar as derivadas parciais
e
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou explicar de forma prática e direta. A derivada parcial de
em relação a
mede a taxa de variação de
quando
muda e
fica fixo. Formalmente, em um ponto
,
De modo semelhante, a derivada parcial em relação a
é
ou seja, variar
mantendo
fixo.
Na prática, para funções compostas como
usamos a regra da cadeia: a derivada da função externa
é
vezes a derivada da função interna
. Importante: ao calcular
trata-se
como constante; ao calcular
trata-se
como constante.
Passo 3
Identificar a função interna. Aqui
situação que usamos para aplicar a regra da cadeia.
Calcular
tratando
como constante:
pois
é constante em relação a
e a derivada de
em relação a
é
.
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto,
Passo 4
Agora
. Primeiro calcule
tratando
como constante:
pois a derivada de
em relação a
é
e
é constante.
Aplicando a regra da cadeia:
Logo,