Determine as derivadas parciais das funções abaixo.
f(x, y)=\sin (3 y-x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sin\bigl(3y-x\bigr).
O que ele pede: determinar as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou explicar de forma prática e direta. A derivada parcial de f em relação a x mede a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo. Formalmente, em um ponto (x_0,y_0),
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}.
De modo semelhante, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h},
ou seja, variar y mantendo x fixo.
Na prática, para funções compostas como f(x,y)=\sin(u(x,y)) usamos a regra da cadeia: a derivada da função externa \sin(u) é \cos(u) vezes a derivada da função interna u. Importante: ao calcular \partial/\partial x trata-se y como constante; ao calcular \partial/\partial y trata-se x como constante.

Passo 3

Identificar a função interna. Aqui
u(x,y)=3y-x,
situação que usamos para aplicar a regra da cadeia.
Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} tratando y como constante:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y-x\bigr)=0-1=-1,
pois 3y é constante em relação a x e a derivada de -x em relação a x é -1.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\cos\bigl(3y-x\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y-x\bigr) =\cos\bigl(3y-x\bigr)\cdot(-1).
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\cos\bigl(3y-x\bigr).

Passo 4

Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}. Primeiro calcule \dfrac{\partial u}{\partial y} tratando x como constante:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y-x\bigr)=3-0=3,
pois a derivada de 3y em relação a y é 3 e x é constante.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\cos\bigl(3y-x\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y-x\bigr) =\cos\bigl(3y-x\bigr)\cdot 3.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3\cos\bigl(3y-x\bigr).

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\cos\bigl(3y-x\bigr)
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3\cos\bigl(3y-x\bigr)

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