(3,0) Calcule os limites indicados abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (extraídas diretamente da expressão):
- Numerador:
. - Denominador:
. - O limite é quando
tende para .
O que se pede: o valor numérico (se existir) desse limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma simples): quando
os termos com maiores potências de
dominam o comportamento da fração. Uma maneira segura e algébrica de aproveitar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador (aqui
), transformando cada termo em uma potência negativa de
que tende a zero conforme
. Depois aplicamos leis de limites (limite da soma é soma dos limites, limite de quociente é quociente dos limites quando o denominador do limite não é zero).
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(escrevo o passo claramente):
Passo 4
Analisando cada termo quando
:
- Para qualquer inteiro
vale . Intuição: conforme cresce muito, cresce sem limite e o inverso tende a zero. Logo e também
Passo 5
Aplicando as leis de limite (limite da soma = soma dos limites, etc.) à expressão do Passo 3:
Passo 6
Interpretação rápida e verificação mental: o denominador tinha potência máxima
enquanto o numerador tinha
. Como o denominador cresce mais rápido quando
, a fração vai a zero — consistente com o cálculo algébrico acima. Isso confirma que o resultado é
.