(3,0) Calcule os limites indicados abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{8 x^{3}+8 x+4}{2 x^{4}+100 x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^{3}+8x+4}{2x^{4}+100x^{2}+3}.
Informações dadas (extraídas diretamente da expressão):
  • Numerador: 8x^{3}+8x+4.
  • Denominador: 2x^{4}+100x^{2}+3.
  • O limite é quando x tende para +\infty.
    O que se pede: o valor numérico (se existir) desse limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma simples): quando x\to+\infty os termos com maiores potências de x dominam o comportamento da fração. Uma maneira segura e algébrica de aproveitar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui x^{4}), transformando cada termo em uma potência negativa de x que tende a zero conforme x\to+\infty. Depois aplicamos leis de limites (limite da soma é soma dos limites, limite de quociente é quociente dos limites quando o denominador do limite não é zero).

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{4} (escrevo o passo claramente):
\frac{8x^{3}+8x+4}{2x^{4}+100x^{2}+3} = \frac{\dfrac{8x^{3}}{x^{4}}+\dfrac{8x}{x^{4}}+\dfrac{4}{x^{4}}}{\dfrac{2x^{4}}{x^{4}}+\dfrac{100x^{2}}{x^{4}}+\dfrac{3}{x^{4}}} = \frac{\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{x^{3}}+\dfrac{4}{x^{4}}}{2+\dfrac{100}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{4}}}.

Passo 4

Analisando cada termo quando x\to+\infty:
  • Para qualquer inteiro k>0 vale \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{k}}=0. Intuição: conforme x cresce muito, x^{k} cresce sem limite e o inverso tende a zero. Logo \lim_{x\to+\infty}\frac{8}{x}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{8}{x^{3}}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x^{4}}=0,e também \lim_{x\to+\infty}\frac{100}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x^{4}}=0.

Passo 5

Aplicando as leis de limite (limite da soma = soma dos limites, etc.) à expressão do Passo 3:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{x^{3}}+\dfrac{4}{x^{4}}}{2+\dfrac{100}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{4}}} = \frac{0+0+0}{2+0+0}=\frac{0}{2}=0.

Passo 6

Interpretação rápida e verificação mental: o denominador tinha potência máxima x^{4} enquanto o numerador tinha x^{3}. Como o denominador cresce mais rápido quando x\to+\infty, a fração vai a zero — consistente com o cálculo algébrico acima. Isso confirma que o resultado é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados