(2,0) Considere a função definida por:
f(x)= \begin{cases}x+6 & \text { se } x<2 \\\ x^{2}+4 & \text { se } 2 \leq x \leq 4 \\\\ 10 & \text { se } x>4\end{cases}
f é contínua em x=4 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} x+6 & \text{se } x<2,\\[4pt] x^{2}+4 & \text{se } 2\le x\le 4,\\[4pt] 10 & \text{se } x>4, \end{cases}
e pergunta se f é contínua em x=4.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição explícita de f em cada intervalo, em particular o valor para 2\le x\le 4 e para x>4.
  • O ponto em que devemos verificar continuidade é x=4.]

Passo 2

Lembrete (definição usada): dizer que f é contínua em x=4 significa, por definição,
\lim_{x\to 4} f(x)=f(4).
Para que isso aconteça é necessário e suficiente que as duas limitações laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to 4^-} f(x)=\lim_{x\to 4^+} f(x)=f(4).
Vou, portanto, calcular f(4), a limite à esquerda \lim_{x\to4^-}f(x) e a limite à direita \lim_{x\to4^+}f(x) e comparar.

Passo 3

Calcular f(4). Como 4 pertence ao intervalo 2\le x\le4, usamos a segunda folha:
f(4)=4^{2}+4=16+4=20.
Portanto f(4)=20.

Passo 4

Calcular a limite pela esquerda \lim_{x\to4^-}f(x). Para x que se aproximam de 4 pela esquerda (isto é, x<4 mas próximos de 4) ainda vale a expressão x^{2}+4 (porque essa expressão vale para todo 2\le x\le4). Como a função x^{2}+4 é uma expressão polinomial (continua), o limite é obtido substituindo x=4:
\lim_{x\to4^-} f(x)=\lim_{x\to4^-} (x^{2}+4)=4^{2}+4=20.

Passo 5

Calcular a limite pela direita \lim_{x\to4^+}f(x). Para x>4 a definição da função é constante igual a 10. A aproximação por valores maiores que 4 dá sempre f(x)=10, logo a limite pela direita é simplesmente o próprio valor constante:
\lim_{x\to4^+} f(x)=10.

Passo 6

Comparar os valores encontrados. Temos
\lim_{x\to4^-} f(x)=20,\qquad \lim_{x\to4^+} f(x)=10,\qquad f(4)=20.
As duas limites laterais não são iguais ( 20\neq10), portanto o limite bilateral \lim_{x\to4} f(x) não existe. Como a condição de continuidade exige que o limite bilateral exista e seja igual a f(4), concluímos que f NÃO é contínua em x=4. Especificamente trata‑se de uma descontinuidade do tipo salto (jump), de tamanho 20-10=10.

Resposta

Não — f não é contínua em x=4.

Exercícios relacionados