(2,0) Considere a função definida por:
f(x)= \begin{cases}x+6 & \text { se } x<2 \\\ x^{2}+4 & \text { se } 2 \leq x \leq 4 \\\\ 10 & \text { se } x>4\end{cases}
f é contínua em x=2 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} x+6 & \text{se } x<2,\\[4pt] x^{2}+4 & \text{se } 2\le x\le 4,\\[4pt] 10 & \text{se } x>4. \end{cases}
O que é pedido: determinar se f é contínua em x=2 e justificar a resposta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x<2 a expressão é x+6.
  • Para 2\le x\le4 a expressão é x^{2}+4.
  • Para x>4 a expressão é 10.
  • O valor de f em x=2 é dado pela segunda hipótese (porque 2 satisfaz 2\le x\le4), logo
f(2)=2^{2}+4=8.]

Passo 2

Relembrando a definição de continuidade em um ponto (a mini-aula): uma função f é contínua em um ponto a se e somente se os três itens abaixo forem verdadeiros:
  1. f(a) está definido (a função tem valor em a);
  2. \displaystyle\lim_{x\to a}f(x) existe;
  3. \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Para verificar se \displaystyle\lim_{x\to a}f(x) existe é suficiente calcular os limites laterais \displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x) e \displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x). A limitação existe se os dois limites laterais existem e são iguais:
\lim_{x\to a}f(x)\\ \text{existe} \iff \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x).
Também importante (regra prática): funções polinomiais e funções lineares são contínuas em todo ponto, então ao calcular limites de x+6 ou x^{2}+4 basta substituir x=a.

Passo 3

Calcular o limite lateral pela esquerda em x=2:
\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(x+6).
Como x+6 é uma função linear (continua), pode-se substituir x=2:
\lim_{x\to 2^-}(x+6)=2+6=8.

Passo 4

Calcular o limite lateral pela direita em x=2:
\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}(x^{2}+4).
Como x^{2}+4 é um polinómio (continua), substituir x=2 dá:
\lim_{x\to 2^+}(x^{2}+4)=2^{2}+4=4+4=8.

Passo 5

Comparando os limites laterais:
\lim_{x\to 2^-}f(x)=8\quad\text{e}\quad\lim_{x\to 2^+}f(x)=8,
portanto o limite bilateral existe e vale
\lim_{x\to 2}f(x)=8.

Passo 6

Verificar a continuidade usando a definição:
  • f(2) está definido e f(2)=8 (veja Passo 1).
  • \lim_{x\to 2}f(x)=8 (veja Passo 5).
    Como \lim_{x\to 2}f(x)=f(2), concluímos que f é contínua em x=2.

Resposta

Sim. f é contínua em x=2.

Exercícios relacionados