O que é pedido: determinar se f é contínua em x=2 e justificar a resposta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para x<2 a expressão é x+6.
Para 2\le x\le4 a expressão é x^{2}+4.
Para x>4 a expressão é 10.
O valor de f em x=2 é dado pela segunda hipótese (porque 2 satisfaz 2\le x\le4), logo
f(2)=2^{2}+4=8.]
Passo 2
Relembrando a definição de continuidade em um ponto (a mini-aula): uma função f é contínua em um ponto a se e somente se os três itens abaixo forem verdadeiros:
f(a) está definido (a função tem valor em a);
\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) existe;
\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Para verificar se \displaystyle\lim_{x\to a}f(x) existe é suficiente calcular os limites laterais \displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x) e \displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x). A limitação existe se os dois limites laterais existem e são iguais:
Também importante (regra prática): funções polinomiais e funções lineares são contínuas em todo ponto, então ao calcular limites de x+6 ou x^{2}+4 basta substituir x=a.
Passo 3
Calcular o limite lateral pela esquerda em x=2:
\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(x+6).
Como x+6 é uma função linear (continua), pode-se substituir x=2:
\lim_{x\to 2^-}(x+6)=2+6=8.
Passo 4
Calcular o limite lateral pela direita em x=2:
\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}(x^{2}+4).
Como x^{2}+4 é um polinómio (continua), substituir x=2 dá: