Calcule os limites indicados:
lim _{x \rightarrow 0} log \frac{x-x^{3}}{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to 0}\log\frac{x - x^{3}}{x^{2} + x}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de uma composição de funções e aplicação da continuidade do logaritmo.

Passo 2

Primeiro simplificamos o argumento do logaritmo. Para x\neq0:
x - x^{3} = x\,(1 - x^{2}), \quad x^{2} + x = x\,(x+1),
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\frac{x - x^{3}}{x^{2} + x} = \frac{x\,(1 - x^{2})}{x\,(x+1)} = \frac{1 - x^{2}}{x+1}.
Observando que, para x próximo de 0 (à direita ou à esquerda), x+1>0 e 1-x^2>0, temos o argumento do logaritmo sempre positivo no entorno de zero, de modo que o log está bem definido.

Passo 3

Calculamos o limite da fração simplificada:
\lim_{x\to0}\frac{1 - x^{2}}{x+1} = \frac{1 - 0}{0 + 1} = 1.
Como o logaritmo é contínuo em 1, vale
\lim_{x\to0}\log\frac{1 - x^{2}}{x+1} = \log\Bigl(\lim_{x\to0}\frac{1 - x^{2}}{x+1}\Bigr) = \log(1) = 0.

Resposta

0

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