Calcule os limites indicados:
lim _{x \rightarrow 3} log \left(\frac{6 x+2}{4 x+3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to3}\log\!\biggl(\frac{6x+2}{4x+3}\biggr).
O conteúdo aqui é limites de funções compostas e uso da continuidade de funções algébricas e da função logarítmica.

Passo 2

Verificamos o argumento da função logarítmica:
\frac{6x+2}{4x+3}.
Para x=3, o denominador 4x+3 não se anula ( 4\cdot3+3=15), então o quociente é bem-definido num entorno de x=3.

Passo 3

A função racional x\mapsto\tfrac{6x+2}{4x+3} é contínua em x=3, e a função logarítmica é contínua para entradas positivas. Assim, podemos trocar limite e logaritmo:
\lim_{x\to3}\log\!\biggl(\frac{6x+2}{4x+3}\biggr) =\log\!\Biggl(\lim_{x\to3}\frac{6x+2}{4x+3}\Biggr).

Passo 4

Calculamos o limite interno por substituição direta:
\lim_{x\to3}\frac{6x+2}{4x+3} =\frac{6\cdot3+2}{4\cdot3+3} =\frac{18+2}{12+3} =\frac{20}{15} =\frac{4}{3}.

Passo 5

Portanto,
\lim_{x\to3}\log\!\biggl(\frac{6x+2}{4x+3}\biggr) =\log\!\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr).

Resposta

\log\!\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr).

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