Calcule os limites indicados:
lim _{x \rightarrow-1} log _{3}\left(\frac{x^{2}+3 x+2}{x^{2}+5 x+4}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -1} \log_{3}\Bigl(\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}+5x+4}\Bigr).
O conteúdo envolve limites de funções racionais e a continuidade do logaritmo na base 3 em (0,\infty).

Passo 2

Para x\neq -1, fatoramos os polinômios:
x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2),
x^{2}+5x+4 = (x+1)(x+4).
Assim,
\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}+5x+4} = \frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+2}{x+4}.

Passo 3

Como \log_{3}(t) é contínua para t>0, temos
\lim_{x\to -1}\log_{3}\Bigl(\tfrac{x+2}{x+4}\Bigr) = \log_{3}\Bigl(\lim_{x\to -1}\tfrac{x+2}{x+4}\Bigr).
Calculando o quociente:
\lim_{x\to -1}\frac{x+2}{x+4} = \frac{1}{3}.
Logo,
\log_{3}\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr) = \log_{3}(3^{-1}) = -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados