Calcule os limites indicados.
© lim z 0 (1+z)^1 / 4-1z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular o limite lim z 0 (1+z)^1 / 4-1z. A matéria que estamos trabalhando aqui é Cálculo de Limites, e para resolver esse problema, vamos precisar usar um pouco de derivadas e aproximações de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que esse limite está querendo dizer. Ele está avaliando o comportamento da expressão (1+z)^1 / 4-1z quando z se aproxima de 0. Isso se assemelha à definição de derivada de uma função no ponto z = 0.

Passo 3

A derivada de uma função f(z) no ponto z = a é definida por:
f'(a) = limz to a f(z) - f(a)z - a
No nosso caso, podemos considerar a função f(z) = (1+z)^1/4 e queremos encontrar f'(0).

Passo 4

Vamos calcular a derivada dessa função usando a regra do poder. A regra do poder nos diz que:
ddz (1 + z)^n = n cdot (1 + z)^n - 1
Aqui, n = 14, então:
f'(z) = 14 cdot (1 + z)^-3/4

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto z = 0:
f'(0) = 14 cdot (1 + 0)^-3/4 = 14 cdot 1 = 14

Passo 6

Então, o limite que queríamos calcular é igual à derivada de f(z) em z = 0, que acabamos de encontrar.

Resposta

O limite lim z 0 (1+z)^1 / 4-1z é igual a 14.

Exercícios relacionados