Calcule os limites indicados.
(d) lim z 0 (1+z)^1 / 3-(1-z)^1 / 3z

Passo 1

Estamos calculando limzto0(1+z)^1/3-(1-z)^1/3z. O conteúdo aqui é limites envolvendo funções com expoente fracionário, e vamos usar a expansão em série de Taylor (ou binomial) próxima de zero.

Passo 2

Usamos a expansão de primeira ordem de (1+x)^alpha em torno de x=0:
(1+x)^alpha=1+alpha x+O(x^2)
No nosso caso, alpha=1/3, então:
(1+z)^1/3=1+tfrac13z+O(z^2),
(1-z)^1/3=1-tfrac13z+O(z^2)

Passo 3

Subtraindo as duas expansões:
(1+z)^1/3-(1-z)^1/3=l(1+tfrac13z+O(z^2)r)-l(1-tfrac13z+O(z^2)r)=tfrac23z+O(z^2)
Dividindo por z e fazendo zto0 eliminamos O(z^2) e obtemos tfrac23.

Resposta

\tfrac23

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