Prove que se lim z z0 f(z)=0 e g(z) é uma função limitada numa vizinhança de z0, então lim z z0(f(z) g(z))=0. Enuncie e prove proposição análoga no caso em que z infty em vez de z z0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se limz to z0 f(z)=0 e existe um entorno de z0 em que g(z) é limitada, então limz to z0 f(z)g(z)=0. Vamos usar definição varepsilon- de de limite para funções de variável complexa.

Passo 2

Como g(z) é limitada num entorno de z0, existe de0 e M>0 tais que para 0<|z-z0| vale |g(z)|<= M.
Como limz to z0 f(z)=0, dado varepsilon>0 existe de0 tal que para 0<|z-z0| temos |f(z)|.
Tomando de, para 0<|z-z0| obtemos
|f(z)g(z)|<=|f(z)|,|g(z)|

Passo 3

Isto mostra que limz to z0f(z)g(z)=0.
Agora para ztoinfty, a proposição análoga é: se limztoinftyf(z)=0 e existe M>0 e R0>0 tais que para |z|>R0 vale |g(z)|<= M, então limztoinftyf(z)g(z)=0.
A prova segue igual: dado varepsilon>0, como limztoinftyf(z)=0 existe R1>0 com |z|>R1 implicando |f(z)|. Tomando R=max(R0,R1), para |z|>R temos
|f(z)g(z)|<=|f(z)|,|g(z)|

Passo 4

o que prova limztoinftyf(z)g(z)=0.

Resposta

0

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