Prove que se
e
é uma função limitada numa vizinhança de
, então
. Enuncie e prove proposição análoga no caso em que
em vez de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se
e existe um entorno de
em que
é limitada, então
. Vamos usar definição
-
de limite para funções de variável complexa.
Passo 2
Como
é limitada num entorno de
, existe
e
tais que para
vale
.
Como , dado
existe
tal que para
temos
.
Tomando , para
obtemos
Como
Tomando
Passo 3
Isto mostra que
.
Agora para , a proposição análoga é: se
e existe
e
tais que para
vale
, então
.
A prova segue igual: dado , como
existe
com
implicando
. Tomando
, para
temos
Agora para
A prova segue igual: dado
Passo 4
o que prova
.
Resposta
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