Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
(g) lim x 0^+ x^p ln x, p>0

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+ x^p ln x, p > 0
Note que, quando x to 0^+, temos x^p to 0 e ln x to -infty, ou seja, forma indeterminada 0 cdot (-infty). Para aplicar L’Hospital, vamos reescrever como quociente.

Passo 2

Reescrevemos
x^p ln x = ln xx^-p
Agora, ao x to 0^+, o numerador ln x to -infty e o denominador x^-p to +infty. Temos forma tfrac-infty+infty, próprio para usar L’Hospital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hospital diferenciando numerador e denominador:
numerador f(x) = ln x Rightarrow f'(x) = tfrac1x,
denominador g(x) = x^-p Rightarrow g'(x) = -p , x^-p-1.
Pelo L’Hospital,
limx to 0^+ ln xx^-p = limx to 0^+ f'(x)g'(x) = limx to 0^+ tfrac1x-p , x^-p-1

Passo 4

Simplificando a fração:
tfrac1x-p,x^-p-1 =-1p;1/xx^-p-1 =-1p;x^p+1!cdot1x =-1p,x^p
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limxto0^+x^pln x =limxto0^+ln xx^-p =-1plimxto0^+x^p = -1pcdot0 =0

Resposta

0

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