Faça o esboço do gráfico das seguintes funções e justifique utilizando a definição de limite, todos os limites encontrados para:
f(x)=xx-2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=xx-2
e a justificativa dos limites usando a definição formal. O conteúdo é análise de limites (finitos, infinitos e no infinito) e reconhecimento de assíntotas.

Passo 2

Determinar o domínio e a continuidade em pontos internos.
O domínio é
Rsetminus2,
pois para x=2 o denominador zera. Em todo aneq2 temos quociente de polinômios e f é contínua. Vamos provar que
limxto af(x)=f(a) (aneq2)
pela definição de limite finito.

Passo 3

Prova de limxto af(x)=f(a) para aneq 2.
Calculamos
l|f(x)-f(a)r| =l|xx-2-aa-2r| =2,|x-a|l|x-2r|l|a-2r|
Se escolhermos
de<a<=|a-2|2,
então para 0<|x-a|<de<a temos
|x-2|>=|,|a-2|-|x-a|,|>|a-2|2,
logo
l|f(x)-f(a)r| <2,|x-a|tfrac12|a-2|;|a-2| =4,|x-a||a-2|^2
Dado varepsilon>0, basta escolher
de<a=minl|a-2|2,;varepsilon,|a-2|^24r,
para garantir l|f(x)-f(a)r|<varepsilon.

Passo 4

Limites infinitos em x=2.
1. Para limxto2^+f(x)=+infty: dado M>0, escolha
de<a=min1,1/M. Se 0<x-2<de<a, então x>2 e
f(x)=xx-2>2x-2>2de<a>= M
2. Para limxto2^-f(x)=-infty: dado M>0, escolha
de<a=min1,1/M. Se 0<2-x<de<a, então x<2 e
f(x)=xx-2<2x-2<-2de<a<= -M

Passo 5

Limites no infinito e assíntota horizontal y=1.
Reescrevemos
f(x)-1=xx-2-1=2x-2
Dado varepsilon>0, escolha
N=maxl2,;4varepsilonr
Se |x|>N, então |x-2|>tfrac12|x| e
l|f(x)-1r| =2|x-2|<2tfrac12|x|=4|x|<varepsilon
Logo limxto+inftyf(x)=1 e limxto-inftyf(x)=1.

Passo 6

Esboço do gráfico com base nos limites e em pontos-chave.
  • Vertical: x=2 é assíntota (ramo vai a -infty pela esquerda e +infty pela direita).
  • Horizontal: y=1 é assíntota para xtopminfty.
  • Interceptos e alguns pontos:
    f(0)=0,;f(1)=-1,;f(3)=3,;f(4)=2
    Com esses dados, desenha-se a hipérbole: para x<2 o ramo parte de yto1^-, cruza em (0,0), vai para -infty em xto2^-; para x>2 parte de +infty, passa por (3,3), aproxima-se de y=1 ao infinito.

Resposta

Os limites são:
limxto af(x)=aa-2(aneq2), limxto2^-f(x)=-infty, limxto2^+f(x)=+infty,
limxto+inftyf(x)=1, limxto-inftyf(x)=1
O gráfico é uma hipérbole com assíntotas x=2 (vertical) e y=1 (horizontal), passando por (0,0), (1,-1), (3,3), (4,2).

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