Faça o esboço do gráfico das seguintes funções e justifique utilizando a definição de limite, todos os limites encontrados para:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
e a justificativa dos limites usando a definição formal. O conteúdo é análise de limites (finitos, infinitos e no infinito) e reconhecimento de assíntotas.
Passo 2
Determinar o domínio e a continuidade em pontos internos.
O domínio é
pois para o denominador zera. Em todo temos quociente de polinômios e é contínua. Vamos provar que
Limites infinitos em x=2. 1. Para limxto2^+f(x)=+infty: dado M>0, escolha de<a=min1,1/M. Se 0<x-2<de<a, então x>2 e
f(x)=xx-2>2x-2>2de<a>= M
2. Para limxto2^-f(x)=-infty: dado M>0, escolha de<a=min1,1/M. Se 0<2-x<de<a, então x<2 e
f(x)=xx-2<2x-2<-2de<a<= -M
Passo 5
Limites no infinito e assíntota horizontal y=1.
Reescrevemos
f(x)-1=xx-2-1=2x-2
Dado varepsilon>0, escolha
N=maxl2,;4varepsilonr
Se |x|>N, então |x-2|>tfrac12|x| e
l|f(x)-1r| =2|x-2|<2tfrac12|x|=4|x|<varepsilon
Logo limxto+inftyf(x)=1 e limxto-inftyf(x)=1.
Passo 6
Esboço do gráfico com base nos limites e em pontos-chave.
Vertical: x=2 é assíntota (ramo vai a -infty pela esquerda e +infty pela direita).
Horizontal: y=1 é assíntota para xtopminfty.
Interceptos e alguns pontos: f(0)=0,;f(1)=-1,;f(3)=3,;f(4)=2
Com esses dados, desenha-se a hipérbole: para x<2 o ramo parte de yto1^-, cruza em (0,0), vai para -infty em xto2^-; para x>2 parte de +infty, passa por (3,3), aproxima-se de y=1 ao infinito.