Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
(e) lim x 0^+(sen x)^1ln x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0^+ (sin x)^1ln x
O conteúdo envolvido é mudança de variável usando logaritmo e aplicação da Regra de L’Hospital para limites que geram formas indeterminadas do tipo tfrac-infty-infty.

Passo 2

Definimos
L = limxto0^+ (sen x)^1ln x
e tomamos logaritmo para trazer o expoente para frente:
ln L = limxto0^+ ln(sen x)ln x

Passo 3

Observamos que, quando xto0^+, temos ln(sin x)to-infty e ln xto-infty, ou seja, forma tfrac-infty-infty. Aqui usamos a Regra de L’Hospital para esse quociente.

Passo 4

Pelo enunciado da Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada de ln(sin x) é cos xsin x=cot x,
derivada de ln x é tfrac1x.
Logo,
ln L = limxto0^+ ln(sin x)ln x = limxto0^+ cot xtfrac1x = limxto0^+ xcot x

Passo 5

Para xto0^+, usamos que cot xsimtfrac1x, então
xcot x ;longrightarrow; 1
Portanto ln L = 1.

Passo 6

Voltando à L, temos
L = e^ln L = e^1 = e

Resposta

e

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