Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede o valor de
O conteúdo envolvido é mudança de variável usando logaritmo e aplicação da Regra de L’Hospital para limites que geram formas indeterminadas do tipo
.
Passo 2
Definimos
e tomamos logaritmo para trazer o expoente para frente:
Passo 3
Observamos que, quando
, temos
e
, ou seja, forma
. Aqui usamos a Regra de L’Hospital para esse quociente.
Passo 4
Pelo enunciado da Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a
:
derivada de é
,
derivada de é
.
Logo,
derivada de
derivada de
Logo,
Passo 5
Para
, usamos que
, então
Portanto
.
Passo 6
Voltando à
, temos