Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
(h) lim x 0^+ x^tg(x^2)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+x^tan(x^2)
Esse tipo de limite do tipo “ 0^0” a gente trata escrevendo
x^tan(x^2)=expl(tan(x^2),ln xr)
Definimos então
L1=limxto0^+tan(x^2),ln x,
e ao final teremos ,limxto0^+x^tan(x^2)=exp(L1).

Passo 2

Note que ln xto-infty e tan(x^2)to0, gerando uma forma indeterminada 0cdot(-infty). Para aplicar a Regra de L’Hospital, reescrevemos como quociente:
L1=limxto0^+ln xcot(x^2)

Passo 3

A forma é -infty/infty, então aplicamos a Regra de L’Hospital (derivamos numerador e denominador):
ddx(ln x)=1x, ddx(cot(x^2))=-2x,csc^2(x^2)
Fica
L1 =limxto0^+1x-2x,csc^2(x^2) =limxto0^+l(-tfrac12x^2,csc^2(x^2)r)

Passo 4

Para xto0 vale sin(x^2)sim x^2, logo csc^2(x^2)sim1/x^4. Substituindo:
-,12x^2,csc^2(x^2) sim -,12x^2,(1/x^4) =-,x^22to0
Portanto L1=0 e
limxto0^+x^tan(x^2) =exp(L1)=exp(0)=1

Resposta

1

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