Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
(c) lim x 0^+(1x-1sen x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+l(1x-1sen xr)
usando as Regras de L’Hospital. O conteúdo aqui é limite de função que se apresenta na forma indeterminada tfrac00, então vamos transformar a expressão num quociente e aplicar L’Hospital.

Passo 2

Escrevemos a diferença com denominador comum:
1x-1sen x =sen x - xx,sen x
Quando xto0^+, o numerador sen x - xto0 e o denominador x,sen xto0. Logo, temos forma tfrac00, cabendo usar L’Hospital.

Passo 3

Aplicamos L’Hospital na forma
limxto0^+sen x - xx,sen x =limxto0^+ddx(sen x - x)ddx(x,sen x) =limxto0^+cos x - 1sen x + xcos x
Aqui, ao fazer xto0^+, o numerador cos x -1to0 e o denominador sen x + xcos xto0, restando ainda tfrac00.

Passo 4

Reaplicamos L’Hospital:
limxto0^+cos x -1sen x + xcos x =limxto0^+-sen xcos x + cos x - xsen x =limxto0^+-sen x2cos x - xsen x
Agora, ao xto0^+, o numerador -sen xto0 e o denominador 2cos x - xsen xto2. Portanto o limite é tfrac02=0.

Resposta

limxto0^+l(1x-1sen xr)=0

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