Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{\ln x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to0^{+}}(\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{\ln x}}.
Informações dadas (do enunciado):
  • A função é (\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{\ln x}}.
  • A variável x tende para 0 pela direita, isto é x\to0^{+}.
O que precisamos encontrar:
  • O valor numérico do limite acima, e indicar claramente onde se aplicou a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Transformação padrão: para limites que envolvem uma função na forma f(x)^{g(x)} é útil tomar logaritmo natural para transformar potência em produto. Defina
y=(\operatorname{sen} x)^{\frac{1}{\ln x}}.
Tomando logaritmo natural de ambos os lados (função \ln é contínua e bijetiva em (0,\infty)), obtemos
\ln y = \frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{\ln x}.
Então o problema passa a calcular \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln y; ao final recuperamos y por exponenciação:
\lim_{x\to0^{+}} y = \exp\!\bigg(\lim_{x\to0^{+}}\ln y\bigg),
desde que o limite de \ln y exista (ou seja \ln y\to L\Rightarrow y\to e^{L}).

Passo 3

Analisar o tipo de indeterminação de \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{\ln(\operatorname{sen} x)}{\ln x}.
Quando x\to0^{+} temos \operatorname{sen} x\to0^{+}, logo \ln(\operatorname{sen} x)\to -\infty. Também \ln x\to -\infty. Portanto a forma é do tipo \dfrac{-\infty}{-\infty}, uma indeterminação do tipo \dfrac{\infty}{\infty}. Essa é uma situação onde a Regra de L’Hospital pode ser aplicada (sob condições de diferenciabilidade que serão verificadas).

Passo 4

Enunciado rápido da Regra de L’Hospital (forma usada): se u(x) e v(x) são diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente no ponto limite) e \lim u(x)=\pm\infty, \lim v(x)=\pm\infty (ou ambos tendem a 0) e v'(x)\neq0 próximo ao ponto, então
\lim \frac{u(x)}{v(x)}=\lim \frac{u'(x)}{v'(x)}
quando o limite do lado direito existir (ou for \pm\infty).
Aqui tomamos u(x)=\ln(\operatorname{sen} x) e v(x)=\ln x. Ambas são diferenciáveis em (0,\varepsilon) para pequeno \varepsilon>0 e tendem a -\infty quando x\to0^{+}. Então as hipóteses da Regra de L’Hospital estão satisfeitas e podemos aplicá-la.
(Observação amigável: é importante esse cheque — não aplicar L’Hospital sem motivo — mas neste caso tudo está OK.)

Passo 5

Aplicando L’Hospital:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{\ln x} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\dfrac{d}{dx}\big(\ln(\operatorname{sen} x)\big)}{\dfrac{d}{dx}\big(\ln x\big)}.
Calcule as derivadas:
\dfrac{d}{dx}\big(\ln(\operatorname{sen} x)\big)=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}, \qquad \dfrac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}.
Portanto
\frac{\dfrac{d}{dx}\big(\ln(\operatorname{sen} x)\big)}{\dfrac{d}{dx}\big(\ln x\big)} =\frac{\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}}{\dfrac{1}{x}} = x\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} =\frac{x\cos x}{\operatorname{sen} x}.
Assim
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{\ln x} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{x\cos x}{\operatorname{sen} x}.
Observação explícita: a Regra de L’Hospital foi usada exatamente neste passo, ao substituir o limite da razão dos logaritmos pelo limite da razão das suas derivadas.

Passo 6

Calcular o limite de \displaystyle\frac{x\cos x}{\operatorname{sen} x} quando x\to0^{+}.
Usamos a conhecida equivalência de pequena-ângulo:
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Reescrevendo a expressão:
\frac{x\cos x}{\operatorname{sen} x}=\frac{\cos x}{\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}}.
Ao tendermos x\to0^{+}, sabemos que \cos x\to1 e \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\to1. Logo
\lim_{x\to0^{+}}\frac{x\cos x}{\operatorname{sen} x}=\frac{1}{1}=1.
Portanto
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{\ln x}=1.

Passo 7

Voltando para y: temos \lim_{x\to0^{+}}\ln y = 1. Como a função exponencial é contínua, concluímos
\lim_{x\to0^{+}} y = \exp\!\big(1\big)=e.

Passo 8

Resumo do uso da Regra de L’Hospital: ela foi aplicada no Passo 5 para calcular
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(\operatorname{sen} x)}{\ln x}
substituindo pela razão das derivadas \dfrac{\cos x/\operatorname{sen} x}{1/x}=\dfrac{x\cos x}{\operatorname{sen} x}, cujo limite foi então avaliado usando \lim_{x\to0}\operatorname{sen} x/x=1.

Resposta

e

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