Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas (do enunciado):
- A função é
. - A variável
tende para pela direita, isto é .
O que precisamos encontrar:
- O valor numérico do limite acima, e indicar claramente onde se aplicou a Regra de L’Hospital.
Passo 2
Transformação padrão: para limites que envolvem uma função na forma
é útil tomar logaritmo natural para transformar potência em produto. Defina
Tomando logaritmo natural de ambos os lados (função
é contínua e bijetiva em
), obtemos
Então o problema passa a calcular
; ao final recuperamos
por exponenciação:
desde que o limite de
exista (ou seja
).
Passo 3
Analisar o tipo de indeterminação de
.
Quando
temos
, logo
. Também
. Portanto a forma é do tipo
, uma indeterminação do tipo
. Essa é uma situação onde a Regra de L’Hospital pode ser aplicada (sob condições de diferenciabilidade que serão verificadas).
Passo 4
Enunciado rápido da Regra de L’Hospital (forma usada): se
e
são diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente no ponto limite) e
,
(ou ambos tendem a
) e
próximo ao ponto, então
quando o limite do lado direito existir (ou for
).
Aqui tomamos
e
. Ambas são diferenciáveis em
para pequeno
e tendem a
quando
. Então as hipóteses da Regra de L’Hospital estão satisfeitas e podemos aplicá-la.
(Observação amigável: é importante esse cheque — não aplicar L’Hospital sem motivo — mas neste caso tudo está OK.)
Passo 5
Aplicando L’Hospital:
Calcule as derivadas:
Portanto
Assim
Observação explícita: a Regra de L’Hospital foi usada exatamente neste passo, ao substituir o limite da razão dos logaritmos pelo limite da razão das suas derivadas.
Passo 6
Calcular o limite de
quando
.
Usamos a conhecida equivalência de pequena-ângulo:
Reescrevendo a expressão:
Ao tendermos
, sabemos que
e
. Logo
Portanto
Passo 7
Voltando para
: temos
. Como a função exponencial é contínua, concluímos
Passo 8
Resumo do uso da Regra de L’Hospital: ela foi aplicada no Passo 5 para calcular
substituindo pela razão das derivadas
, cujo limite foi então avaliado usando
.