Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações e observações iniciais extraídas do enunciado:
- A expressão tem a forma
. - Quando
temos e , ou seja, a forma é do tipo , que é uma indeterminação.
O problema é: encontrar o valor do limite e indicar onde foi utilizada a Regra de L’Hospital.
Passo 2
Estratégia (sem calcular ainda): para limites com potências do tipo
é muito útil tomar o logaritmo natural. Se definirmos
então podemos estudar
Se conseguirmos encontrar
, chamemos esse limite de
, então o limite original será
. Esta transformação é padrão porque convergência de
é equivalente à convergência de
(a exponencial é contínua).
Passo 3
Reescrevendo
de forma conveniente para aplicar L’Hospital:
Agora verificamos o tipo da indeterminação ao tomar
:
-
. -
.
Portanto temos uma forma, e isso habilita o uso da Regra de L’Hospital: podemos substituir o limite da razão pelas razões das derivadas (desde que as funções sejam diferenciáveis em um intervalo adequado e o novo limite exista ou seja ).
Passo 4
Vou aplicar a Regra de L’Hospital: calcular as derivadas do numerador e do denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
Agora a derivada da parte interna:
Portanto a derivada do numerador é
Derivada do denominador:
Passo 5
Aplicando L’Hospital (limite da razão das derivadas):
Simplificando o sinal e as potências de
:
Passo 6
Agora calculamos o limite da expressão simplificada:
Quando
temos
, logo o denominador tende para
e a fração tende a
Portanto obtemos
Passo 7
Como
, concluímos que
Resumo do uso da Regra de L’Hospital: ela foi utilizada no cálculo de
ao converter a expressão em uma razão que apresenta a indeterminação
e então substituir o limite pela razão das derivadas (Passos 4–6).
Passo 8
Observação alternativa (mais curta): poderia também usar a equivalência
para
. Com
tem-se
, então
, chegando ao mesmo resultado. Usei L’Hospital na solução principal porque o enunciado pediu que eu indicasse onde a regra foi utilizada.