b) Encontre a taxa instantânea da variação de
em relação a
quando
5) Se
for o valor total da produção quando há
trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é
.
a) Encontre
e explique por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se
.
b) Mostre que
se
for maior que a produtividade média.
5) Se
a) Encontre
b) Mostre que
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele fornece.
- Primeira parte (marcada como “b)”): pede "Encontre a taxa instantânea da variação de
em relação a quando ". Informação dada: apenas essa frase. O enunciado não fornece uma fórmula explícita para . - Segunda parte (questão 5): foi dado que
é a produção total quando há trabalhadores, e a produtividade média é definida por . As perguntas são: - (a) encontrar
e explicar por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se ; - (b) mostrar que
se for maior que a produtividade média.
- (a) encontrar
Observações importantes (informações necessárias):
- Para calcular numericamente a taxa instantânea de
em é necessário conhecer a função . Como não foi fornecida, não é possível obter um número. Posso, porém, explicar exatamente como se calcula passo a passo e dar exemplos. - Para a questão 5 temos informação suficiente para encontrar
em forma simbólica e para demonstrar a relação pedida.
Passo 2
O que significa “taxa instantânea de variação” e como se calcula em geral (a parte sobre
).
- Intuição: a taxa instantânea de variação de uma função
em é a inclinação da reta tangente ao gráfico de naquele ponto — isto mede “quão rápido” muda quando muda ali. - Definição formal (limite): a taxa instantânea em
é o derivada de avaliada em , dada por
Isto é a forma fundamental: diferença de valores dividida pela mudança em
, com a mudança tendendo a zero.
- Conclusão prática: para obter um valor numérico preciso é preciso ter a expressão de
. Se estiver definida por uma fórmula elementar (polinômio, exponencial, etc.), aplica-se regras de derivação para obter e então calcula-se .
Passo 3
Exemplos concretos (para você ver como fazer durante a prova, sem calculadora complicada).
- Exemplo 1 (polinômio simples): se
então, pela regra do poder,
Logo
- Exemplo 2 (número concreto): se
então
portanto
- Exemplo 3 (produto/exponencial): se
então
e
Esses exemplos mostram o procedimento: pegar
, aplicar regra de derivação apropriada, avaliar em
.
Passo 4
Derivando
passo a passo (questão 5-a).
- Identifique as funções:
com e . - Regra do quociente (lembrete didático): a derivada de
é
Explicando: multiplica-se o denominador pela derivada do numerador, subtrai-se o numerador vezes a derivada do denominador, e divide-se pelo quadrado do denominador.
- Aplicando com
, , , :
- Simplificação interpretativa: como
, podemos também escrever
Essa forma é útil para interpretar sinais: o sinal de
depende do sinal de
(visto que
na aplicação prática — número de trabalhadores).
Passo 5
Interpretação econômica e resposta à pergunta “por que empregar mais trabalhadores se
?” (questão 5-a, continuação).
- Se
, significa que ao aumentar (contratar mais trabalhadores) a produtividade média por trabalhador aumenta. Em termos simples: cada trabalhador médio está, em média, produzindo mais após a contratação adicional — portanto, contratar aumenta a produtividade média e tende a ser vantajoso. - Ligando com
: o termo é a produtividade marginal (a variação da produção total quando se adiciona um trabalhador a mais). A comparação entre produtividade marginal e produtividade média decide se a média sobe ou desce quando se adiciona um elemento: se a produtividade marginal é maior que a média atual, então a média sobe.
Passo 6
Mostrando formalmente que
se
for maior que a produtividade média (questão 5-b).
- Partimos da expressão encontrada:
- Para
(número de trabalhadores positivo), o denominador é positivo. Portanto o sinal de é o mesmo do numerador . - Reescrevendo:
Mas
. Logo
- Conclusão: se a produtividade marginal
for maior que a produtividade média , então , ou seja, contratar mais trabalhadores aumenta a produtividade média.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia.
- Seja
. Então e . - Comparando:
e . Para tem , logo e por consequência . - Calculando diretamente com a fórmula de
:
o que confirma que a produtividade média cresce com
nesse exemplo.