b) Encontre a taxa instantânea da variação de C em relação a x quando x=100
5) Se p(x) for o valor total da produção quando há x trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é A(x)=\frac{p(x)}{x}.
a) Encontre A^{\prime}(x) e explique por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se A^{\prime}(x)>0.
b) Mostre que A^{\prime}(x)>0 se p^{\prime}(x) for maior que a produtividade média.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele fornece.
  • Primeira parte (marcada como “b)”): pede "Encontre a taxa instantânea da variação de C em relação a x quando x=100". Informação dada: apenas essa frase. O enunciado não fornece uma fórmula explícita para C(x).
  • Segunda parte (questão 5): foi dado que p(x) é a produção total quando há x trabalhadores, e a produtividade média é definida por A(x)=\dfrac{p(x)}{x}. As perguntas são:
    • (a) encontrar A^{\prime}(x) e explicar por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se A^{\prime}(x)>0;
    • (b) mostrar que A^{\prime}(x)>0 se p^{\prime}(x) for maior que a produtividade média.
Observações importantes (informações necessárias):
  • Para calcular numericamente a taxa instantânea de C em x=100 é necessário conhecer a função C(x). Como C(x) não foi fornecida, não é possível obter um número. Posso, porém, explicar exatamente como se calcula passo a passo e dar exemplos.
  • Para a questão 5 temos informação suficiente para encontrar A'(x) em forma simbólica e para demonstrar a relação pedida.

Passo 2

O que significa “taxa instantânea de variação” e como se calcula em geral (a parte sobre C).
  • Intuição: a taxa instantânea de variação de uma função C em x=a é a inclinação da reta tangente ao gráfico de C naquele ponto — isto mede “quão rápido” C muda quando x muda ali.
  • Definição formal (limite): a taxa instantânea em x=100 é o derivada de C avaliada em 100, dada por
C'(100)=\lim_{h\to0}\frac{C(100+h)-C(100)}{h}.
Isto é a forma fundamental: diferença de valores dividida pela mudança em x, com a mudança tendendo a zero.
  • Conclusão prática: para obter um valor numérico preciso é preciso ter a expressão de C(x). Se C(x) estiver definida por uma fórmula elementar (polinômio, exponencial, etc.), aplica-se regras de derivação para obter C'(x) e então calcula-se C'(100).

Passo 3

Exemplos concretos (para você ver como fazer durante a prova, sem calculadora complicada).
  • Exemplo 1 (polinômio simples): se C(x)=ax^{2}+bx+c então, pela regra do poder,
C'(x)=2ax+b.
Logo
C'(100)=2a\cdot100+b=200a+b.
  • Exemplo 2 (número concreto): se C(x)=0,01x^{2} então
C'(x)=2\cdot0,01x=0,02x,
portanto
C'(100)=0,02\cdot100=2.
  • Exemplo 3 (produto/exponencial): se C(x)=5e^{0,02x} então
C'(x)=5\cdot0,02e^{0,02x}=0,1e^{0,02x},
e
C'(100)=0,1e^{2}.
Esses exemplos mostram o procedimento: pegar C(x), aplicar regra de derivação apropriada, avaliar em x=100.

Passo 4

Derivando A(x)=\dfrac{p(x)}{x} passo a passo (questão 5-a).
  • Identifique as funções: A(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=p(x) e v(x)=x.
  • Regra do quociente (lembrete didático): a derivada de \dfrac{u}{v} é
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{v\,u'-u\,v'}{v^{2}}.
Explicando: multiplica-se o denominador pela derivada do numerador, subtrai-se o numerador vezes a derivada do denominador, e divide-se pelo quadrado do denominador.
  • Aplicando com u=p(x), u'=p'(x), v=x, v'=1:
A'(x)=\frac{x\cdot p'(x)-p(x)\cdot 1}{x^{2}}=\frac{x\,p'(x)-p(x)}{x^{2}}.
  • Simplificação interpretativa: como A(x)=\dfrac{p(x)}{x}, podemos também escrever
A'(x)=\frac{x\,p'(x)-p(x)}{x^{2}}=\frac{p'(x)-\dfrac{p(x)}{x}}{x}=\frac{p'(x)-A(x)}{x}.
Essa forma é útil para interpretar sinais: o sinal de A'(x) depende do sinal de p'(x)-A(x) (visto que x>0 na aplicação prática — número de trabalhadores).

Passo 5

Interpretação econômica e resposta à pergunta “por que empregar mais trabalhadores se A'(x)>0?” (questão 5-a, continuação).
  • Se A'(x)>0, significa que ao aumentar x (contratar mais trabalhadores) a produtividade média por trabalhador A(x) aumenta. Em termos simples: cada trabalhador médio está, em média, produzindo mais após a contratação adicional — portanto, contratar aumenta a produtividade média e tende a ser vantajoso.
  • Ligando com p'(x): o termo p'(x) é a produtividade marginal (a variação da produção total quando se adiciona um trabalhador a mais). A comparação entre produtividade marginal e produtividade média decide se a média sobe ou desce quando se adiciona um elemento: se a produtividade marginal é maior que a média atual, então a média sobe.

Passo 6

Mostrando formalmente que A'(x)>0 se p'(x) for maior que a produtividade média (questão 5-b).
  • Partimos da expressão encontrada:
A'(x)=\frac{x\,p'(x)-p(x)}{x^{2}}.
  • Para x>0 (número de trabalhadores positivo), o denominador x^{2} é positivo. Portanto o sinal de A'(x) é o mesmo do numerador x\,p'(x)-p(x).
  • Reescrevendo:
x\,p'(x)-p(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad p'(x)>\frac{p(x)}{x}.
Mas \dfrac{p(x)}{x}=A(x). Logo
A'(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad p'(x)>A(x).
  • Conclusão: se a produtividade marginal p'(x) for maior que a produtividade média A(x), então A'(x)>0, ou seja, contratar mais trabalhadores aumenta a produtividade média.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia.
  • Seja p(x)=x^{2}. Então p'(x)=2x e A(x)=\dfrac{x^{2}}{x}=x.
  • Comparando: p'(x)=2x e A(x)=x. Para x>0 tem 2x>x, logo p'(x)>A(x) e por consequência A'(x)>0.
  • Calculando diretamente com a fórmula de A':
A'(x)=\frac{x\cdot(2x)-x^{2}}{x^{2}}=\frac{2x^{2}-x^{2}}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1>0,
o que confirma que a produtividade média cresce com x nesse exemplo.

Resposta

\text{(b) Não é possível dar um valor numérico porque }C(x)\text{ não foi fornecida. A taxa instantânea pedida é }C'(100)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{C(100+h)-C(100)}{h}.ãéíéãâé
\text{(5a) }A'(x)=\dfrac{x\,p'(x)-p(x)}{x^{2}}=\dfrac{p'(x)-A(x)}{x}.
\text{(5b) }A'(x)>0\iff p'(x)>\dfrac{p(x)}{x}=A(x).

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