Calcule os limites no infinito
lim x ightharpoonup-infty raizx^2-2 x+2x+1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto -infty raizx^2-2 x+2x+1
O conteúdo aqui é o estudo do comportamento assintótico de funções envolvendo raiz quadrada de polinômio de grau 2 e divisão por expressão linear quando xto-infty.

Passo 2

Para lidar com a raiz, fatoramos x^2 dentro dela:
raizx^2-2x+2 =raizx^2l(1-2x+2x^2r) =|x|;raiz1-2x+2x^2
Como estamos enviando xto -infty, temos |x|=-x. Logo,
raizx^2-2x+2 =-,x;raiz1-2x+2x^2

Passo 3

Substituindo na fração original, para x<0,
raizx^2-2x+2x+1 =-,x;raiz1-tfrac2x+tfrac2x^2x+1 =-;xx+1;raiz1-2x+2x^2

Passo 4

Agora dividimos numerador e denominador de tfracxx+1 por x:
xx+1 =11+tfrac1x,
então
raizx^2-2x+2x+1 =-;11+tfrac1x;raiz1-2x+2x^2

Passo 5

Quando xto -infty, temos tfrac1xto0. Logo,
raiz1-2x+2x^2to1 e 1+1xto1
Portanto o limite final é
limxto -inftyraizx^2-2x+2x+1 =-;11cdot1 =-1

Resposta

-1

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