Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=raizx^2+e^raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = raizx^2 + e^raizx
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada a uma função composta do tipo raiz quadrada, além da derivada de uma exponencial com argumento raizx.

Passo 2

Reescrevendo a função em potência, temos
f(x) = l(x^2 + e^raizxr)^tfrac12
Assim podemos aplicar a regra da cadeia: se g(u)=u^1/2 e u(x)=x^2+e^raizx, então f(x)=g(u(x)).

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x) = g'(u(x))cdot u'(x) = 12,(x^2+e^raizx)^-tfrac12,l(x^2+e^raizxr)'

Passo 4

Agora calculamos a derivada do interior u(x)=x^2+e^raizx:
  • A derivada de x^2 é 2x.
  • Para e^raizx, usamos a cadeia de novo: ddxe^raizx = e^raizxcdotddxl(raizxr) = e^raizxcdot12raizx
Logo
u'(x) = 2x + e^raizx2raizx

Passo 5

Substituindo em f'(x):
f'(x) = 12,(x^2+e^raizx)^-tfrac12 l(2x + e^raizx2raizxr)

Passo 6

Distribuindo o fator tfrac12 e escrevendo a raiz no denominador,
f'(x) = 2x2,raizx^2+e^raizx + 12cdote^raizx2raizxcdot (x^2+e^raizx)^-tfrac12
= xraizx^2+e^raizx + e^raizx4,raizx,raizx^2+e^raizx
Podemos também juntar termos sobre um único denominador:
f'(x) = 4xraizx + e^raizx 4,raizx,raizx^2+e^raizx

Resposta

f'(x) = xraizx^2+e^raizx + e^raizx4,raizx,raizx^2+e^raizx
ou equivalentemente
f'(x) = 4xraizx + e^raizx 4,raizx,raizx^2+e^raizx

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