Calcule os limites no infinito e diga se o resultado resulta em uma assíntota horizontal.:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+2}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+2}-x\bigr).
Aqui temos uma indeterminação do tipo “ \infty-\infty”, então a técnica clássica é multiplicar e dividir pela conjugada para eliminar essa diferença grande.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos por \sqrt{x^2+2}+x, obtendo
\sqrt{x^2+2}-x = \frac{(\sqrt{x^2+2}-x)\,(\sqrt{x^2+2}+x)}{\sqrt{x^2+2}+x} = \frac{x^2+2 - x^2}{\sqrt{x^2+2}+x} = \frac{2}{\sqrt{x^2+2}+x}.

Passo 3

No denominador, fatoramos x:
\frac{2}{\sqrt{x^2+2}+x} = \frac{2}{x\bigl(\sqrt{1+\tfrac{2}{x^2}}+1\bigr)}.

Passo 4

Quando x\to+\infty, temos \sqrt{1+\tfrac{2}{x^2}}\to1. Logo
\frac{2}{x\bigl(\sqrt{1+\tfrac{2}{x^2}}+1\bigr)} \;\longrightarrow\; \frac{2}{x(1+1)} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} \;\longrightarrow\;0.

Passo 5

Concluímos que
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+2}-x\bigr)=0.
Como a função tende a 0 quando x\to+\infty, existe uma assíntota horizontal dada por
y=0.

Resposta

O limite é 0 e a função tem assíntota horizontal y=0.

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