Calcule os limites no infinito e diga se o resultado resulta em uma assíntota horizontal.:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{3}-2 x+8}{4 x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede
– calcular \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3-2x+8}{4x^2+1}
– verificar se isso gera uma assíntota horizontal.
O conteúdo usado será comparação de graus de polinômios e análise do termo dominante para determinar o sinal do infinito.

Passo 2

Comparemos os graus de numerador e denominador:
– o numerador 2x^3-2x+8 tem grau 3,
– o denominador 4x^2+1 tem grau 2.
Como \deg(\text{num})>\deg(\text{den}), o limite em \pm\infty tende a \pm\infty, não sendo finito.

Passo 3

Para saber se é +\infty ou -\infty, olhamos o termo dominante ao dividir:
\frac{2x^3-2x+8}{4x^2+1}\sim \frac{2x^3}{4x^2}=\frac{x}{2}.
Quando x\to -\infty, temos \tfrac{x}{2}\to -\infty. Logo
\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3-2x+8}{4x^2+1}=-\infty.

Passo 4

Como o limite não é um valor finito, não existe assíntota horizontal nesse sentido.

Resposta

\displaystyle -\infty, não há assíntota horizontal.

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