Calcule os limites no infinito e diga se o resultado resulta em uma assíntota horizontal.:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3 x+2}{3 x-1}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{3x+2}{3x-1}\Bigr)^{2x}
e verificar se isso gera uma assíntota horizontal. Vamos usar a técnica de escrever a base na forma 1+\frac{\text{algo}}{x}+\cdots e aplicar o limite exponencial \bigl(1+\frac{u(x)}{x}\bigr)^{x}\to e^{\lim u(x)}.

Passo 2

Reescrevemos a fração interna separando o fator 3x:
\frac{3x+2}{3x-1} =\frac{3x\bigl(1+\tfrac{2}{3x}\bigr)}{3x\bigl(1-\tfrac{1}{3x}\bigr)} =\frac{1+\tfrac{2}{3x}}{1-\tfrac{1}{3x}}.

Passo 3

Para lidar com a potência 2x, tomamos logaritmo:
\ln\Bigl[\Bigl(\tfrac{3x+2}{3x-1}\Bigr)^{2x}\Bigr] =2x\Bigl[\ln\bigl(1+\tfrac{2}{3x}\bigr)-\ln\bigl(1-\tfrac{1}{3x}\bigr)\Bigr].

Passo 4

Expandimos as duas séries de Taylor até ordem 1/x:
\begin{aligned} \ln\bigl(1+\tfrac{2}{3x}\bigr)&=\tfrac{2}{3x}-\tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{2}{3x}\Bigr)^2+o\bigl(\tfrac{1}{x^2}\bigr) =\tfrac{2}{3x}-\tfrac{2}{9x^2}+o\bigl(\tfrac{1}{x^2}\bigr),\\\ \ln\bigl(1-\tfrac{1}{3x}\bigr)&=-\tfrac{1}{3x}-\tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{1}{3x}\Bigr)^2+o\bigl(\tfrac{1}{x^2}\bigr) =-\tfrac{1}{3x}-\tfrac{1}{18x^2}+o\bigl(\tfrac{1}{x^2}\bigr). \end{aligned}

Passo 5

Subtraindo e multiplicando por 2x:
\begin{aligned} \ln\Bigl[\Bigl(\tfrac{3x+2}{3x-1}\Bigr)^{2x}\Bigr] &=2x\Bigl[\bigl(\tfrac{2}{3x}-\tfrac{2}{9x^2}\bigr)-\bigl(-\tfrac{1}{3x}-\tfrac{1}{18x^2}\bigr)+o(\tfrac{1}{x^2})\Bigr]\\\ &=2x\Bigl[\tfrac{3}{3x}+\bigl(-\tfrac{2}{9x^2}+\tfrac{1}{18x^2}\bigr)+o(\tfrac{1}{x^2})\Bigr] =2x\Bigl[\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{6x^2}+o(\tfrac{1}{x^2})\Bigr]\\\ &=2\;-\;\tfrac{1}{3x}+o(\tfrac{1}{x}) \;\xrightarrow[x\to\infty]{}\;2. \end{aligned}

Passo 6

Como o logaritmo tende a 2, o próprio limite é
L=\exp\bigl(\lim_{x\to\infty}\ln(\cdots)\bigr)=e^2.

Passo 7

Quando uma função f(x) tende a L finito ao ir a +\infty, ela tem assíntota horizontal y=L. Aqui L=e^2.

Resposta

O limite é e^2. Portanto há assíntota horizontal em y=e^2.

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