Discuta sobre a continuidade de cada função:
f(x)= \begin{cases}x, & x<1 \\\\ 2, & x=1 \\\\ 2 x-1, & x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x, & x<1,\\\\ 2, & x=1,\\\\ 2x-1, & x>1 \end{cases}
e pede para discutir sua continuidade. O que precisamos lembrar é:
– Uma função polinomial (como x ou 2x-1) é contínua em todo o seu domínio.
– Para pontos de “cola” entre ramos (aqui x=1), devemos comparar o valor de f(1) com os limites laterais \lim_{x\to1^-}f(x) e \lim_{x\to1^+}f(x).

Passo 2

Para x<1 temos f(x)=x, que é polinomial, logo contínua em todo (-\infty,1).
Para x>1 temos f(x)=2x-1, também polinomial, logo contínua em todo (1,\infty).

Passo 3

Agora, em x=1 calculamos os limites laterais:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x=1,
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(2x-1)=2\cdot1-1=1.
Como \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=1, o limite \lim_{x\to1}f(x) existe e vale 1.

Passo 4

Mas o valor da função em x=1 é f(1)=2, diferente de 1. Portanto há descontinuidade em x=1, pois
\lim_{x\to1}f(x)=1\neq f(1)=2.

Resposta

A função é contínua em todos os x tais que x\neq1 e apresenta uma descontinuidade de salto (não removível) em x=1.

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