Calcule os limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(3 x^{4}+4 x^{2}-1\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a +\infty da expressão \left(3x^{4}+4x^{2}-1\right).
Informações dadas: é um polinômio de variável real x com termos 3x^{4}, 4x^{2} e -1.
A pergunta explícita é: calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(3x^{4}+4x^{2}-1\right).

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para limites no infinito de polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento quando |x| é grande. Uma forma rigorosa e simples de usar isso em prova é fatorar pela maior potência de x presente no polinômio (aqui x^{4}) e analisar os limites das partes resultantes. Vou aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 3

Fatorei a expressão por x^{4}. Escrevemos
3x^{4}+4x^{2}-1 = x^{4}\!\left(3 + \frac{4}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}\right).
Isso é apenas álgebra: multipliquei x^{4} pelos termos dentro do parêntese para recuperar o polinômio original.

Passo 4

Agora escrevo o limite usando essa fatoração:
\lim_{x\to+\infty}\left(3x^{4}+4x^{2}-1\right) = \lim_{x\to+\infty} x^{4}\!\left(3 + \frac{4}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}\right).
Para prosseguir preciso saber os limites das frações \dfrac{4}{x^{2}} e \dfrac{1}{x^{4}} quando x\to+\infty.

Passo 5

Fato útil (e muito usado em provas): para qualquer expoente real positivo a>0,
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{a}}=0.
Intuição simples: à medida que x cresce, x^{a} cresce sem limite e sua recíproca vai para zero. Aplicando isso,
\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x^{2}} = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{4}} = 0.

Passo 6

Pelo teorema das operações com limites (soma e produto), temos
\lim_{x\to+\infty}\left(3 + \frac{4}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}\right) = 3 + 0 - 0 = 3.
Portanto, para x suficientemente grande, o fator entre parênteses está próximo de 3 e, em particular, é positivo e limitado abaixo por algum número fixo (por exemplo, maior que 1 para x grande o suficiente).

Passo 7

Como \lim_{x\to+\infty}x^{4}=+\infty e o fator entre parênteses tende a 3>0, o produto tende a +\infty. Mais formalmente: existe N tal que, para x>N, temos \left(3 + \dfrac{4}{x^{2}} - \dfrac{1}{x^{4}}\right)>\dfrac{1}{2} (ou >1); assim para x>N
x^{4}\!\left(3 + \frac{4}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}\right) > x^{4}\cdot\frac{1}{2},
e como \lim_{x\to+\infty}x^{4}\cdot\frac{1}{2}=+\infty, o limite da expressão original é +\infty.

Passo 8

Resumo intuitivo e dica para a prova: o termo de maior grau é 3x^{4}. Como o grau é par e o coeficiente principal é positivo ( 3>0), o polinômio cresce para +\infty quando x\to+\infty. A fatoração pela maior potência de x fornece a justificação rigorosa que usamos acima.

Resposta

+\infty

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