Calcule os limites no infinito:
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da expressão
.
Informações dadas: é um polinômio de variável real com termos
,
e
.
A pergunta explícita é: calcular .
Informações dadas: é um polinômio de variável real
A pergunta explícita é: calcular
Passo 2
Estratégia (explicação didática): para limites no infinito de polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento quando
é grande. Uma forma rigorosa e simples de usar isso em prova é fatorar pela maior potência de
presente no polinômio (aqui
) e analisar os limites das partes resultantes. Vou aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 3
Fatorei a expressão por
. Escrevemos
Isso é apenas álgebra: multipliquei
pelos termos dentro do parêntese para recuperar o polinômio original.
Passo 4
Agora escrevo o limite usando essa fatoração:
Para prosseguir preciso saber os limites das frações
e
quando
.
Passo 5
Fato útil (e muito usado em provas): para qualquer expoente real positivo
,
Intuição simples: à medida que
cresce,
cresce sem limite e sua recíproca vai para zero. Aplicando isso,
Passo 6
Pelo teorema das operações com limites (soma e produto), temos
Portanto, para
suficientemente grande, o fator entre parênteses está próximo de
e, em particular, é positivo e limitado abaixo por algum número fixo (por exemplo, maior que
para
grande o suficiente).
Passo 7
Como
e o fator entre parênteses tende a
, o produto tende a
. Mais formalmente: existe
tal que, para
, temos
(ou
); assim para
e como
, o limite da expressão original é
.
Passo 8
Resumo intuitivo e dica para a prova: o termo de maior grau é
. Como o grau é par e o coeficiente principal é positivo (
), o polinômio cresce para
quando
. A fatoração pela maior potência de
fornece a justificação rigorosa que usamos acima.