Calcular os limites.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+3 x-10}{3 x^{2}-5 x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{2}+3x-10}{3x^{2}-5x-2}.
Informações dadas: a expressão racional \dfrac{x^{2}+3x-10}{3x^{2}-5x-2} e o ponto de aproximação x\to 2. A pergunta é: qual é o valor deste limite?

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar substituir x=2 diretamente para ver se dá um resultado imediato. Substituindo,
\text{numerador} = 2^{2}+3\cdot2-10 = 4+6-10 = 0,
\text{denominador} = 3\cdot2^{2}-5\cdot2-2 = 12-10-2 = 0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada \displaystyle \frac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só com a substituição; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação. Uma técnica simples e frequentemente usada é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador \;x^{2}+3x-10\;.
Procuramos dois números inteiros cuja soma seja 3 (coeficiente de x) e cujo produto seja -10 (termo constante). Esses números são 5 e -2, pois 5+(-2)=3 e 5\cdot(-2)=-10. Logo,
x^{2}+3x-10 = (x+5)(x-2).
Explicação rápida do porquê: ao expandir (x+5)(x-2) obtemos x^2 -2x +5x -10 = x^2 +3x -10.

Passo 4

Agora fatoramos o denominador \;3x^{2}-5x-2\;.
Procuramos fatores na forma (3x+a)(x+b) com a e b inteiros (ou racionais) tais que ao expandir dê o polinômio dado. Tentando combinações, vemos que
(3x+1)(x-2) = 3x^2 -6x + x -2 = 3x^2 -5x -2.
Portanto
3x^{2}-5x-2 = (3x+1)(x-2).

Passo 5

Substituindo as fatorações na razão original temos, para x\neq 2,
\frac{x^{2}+3x-10}{3x^{2}-5x-2} = \frac{(x+5)(x-2)}{(3x+1)(x-2)}.
Como estamos interessados no limite quando x se aproxima de 2 (e não no valor exatamente em 2), podemos cancelar o fator comum (x-2) (válido para x\neq 2). Assim obtemos a expressão simplificada
\frac{x+5}{3x+1},\quad x\neq 2.
Justificativa conceitual: o limite quando x\to 2 depende dos valores da função arbitrariamente próximos de 2, e para esses x a função original coincide com a função simplificada; além disso a função racional simplificada é contínua em x=2 (o denominador em 2 não é zero), então podemos avaliar o limite por substituição.

Passo 6

Agora avaliamos a expressão simplificada em x=2:
\frac{2+5}{3\cdot 2 +1} = \frac{7}{6+1} = \frac{7}{7} = 1.
Portanto o limite existe e vale 1.

Passo 7

Comentário extra (opcional, para seu estudo): outra forma de tratar a indeterminação \frac{0}{0} seria aplicar a Regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador e avaliar o limite), que também levaria ao mesmo resultado neste caso. Mas fatorar e cancelar é mais rápido e totalmente suficiente aqui.

Resposta

1

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