Calcular os limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a expressão racional
e o ponto de aproximação
. A pergunta é: qual é o valor deste limite?
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar substituir
diretamente para ver se dá um resultado imediato. Substituindo,
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só com a substituição; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação. Uma técnica simples e frequentemente usada é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador
.
Procuramos dois números inteiros cuja soma seja (coeficiente de
) e cujo produto seja
(termo constante). Esses números são
e
, pois
e
. Logo,
Procuramos dois números inteiros cuja soma seja
Explicação rápida do porquê: ao expandir
obtemos
.
Passo 4
Agora fatoramos o denominador
.
Procuramos fatores na forma com
e
inteiros (ou racionais) tais que ao expandir dê o polinômio dado. Tentando combinações, vemos que
Procuramos fatores na forma
Portanto
Passo 5
Substituindo as fatorações na razão original temos, para
,
Como estamos interessados no limite quando
se aproxima de
(e não no valor exatamente em
), podemos cancelar o fator comum
(válido para
). Assim obtemos a expressão simplificada
Justificativa conceitual: o limite quando
depende dos valores da função arbitrariamente próximos de
, e para esses
a função original coincide com a função simplificada; além disso a função racional simplificada é contínua em
(o denominador em
não é zero), então podemos avaliar o limite por substituição.
Passo 6
Agora avaliamos a expressão simplificada em
:
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 7
Comentário extra (opcional, para seu estudo): outra forma de tratar a indeterminação
seria aplicar a Regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador e avaliar o limite), que também levaria ao mesmo resultado neste caso. Mas fatorar e cancelar é mais rápido e totalmente suficiente aqui.