Calcular os limites. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}.
Informações dadas:
A expressão a ser analisada é \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}.
O ponto de interesse é x\to 0.
Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Observação inicial (para não cometermos erro de interpretação): ao calcular limites em pontos onde o denominador tende a 0, é importante verificar os limites laterais x\to0^+ e x\to0^-, porque podem divergir com sinais diferentes. Aqui, ao substituir x=0 no numerador obtemos
\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}=1+1=2,
ou seja, o numerador tende a 2 enquanto o denominador tende a 0. Isso indica que a expressão pode divergir para +\infty ou -\infty dependendo do lado de aproximação; devemos analisar isso com mais cuidado.
Passo 3
Vamos manipular o numerador de forma exata para ver o comportamento da parte que não é a singularidade 2/x. Defina
S(x)=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}.
Queremos entender S(x)-2. Escrevemos cada raiz menos 1 e racionalizamos:
Como os limites laterais não coincidem (têm sinais opostos), o limite bilateral \lim_{x\to0} não existe.
Resposta
O limite não existe. \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}=+\infty \displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}=-\infty