Calcular os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Observação inicial (para não cometermos erro de interpretação): ao calcular limites em pontos onde o denominador tende a 0, é importante verificar os limites laterais x\to0^+ e x\to0^-, porque podem divergir com sinais diferentes. Aqui, ao substituir x=0 no numerador obtemos
\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}=1+1=2,
ou seja, o numerador tende a 2 enquanto o denominador tende a 0. Isso indica que a expressão pode divergir para +\infty ou -\infty dependendo do lado de aproximação; devemos analisar isso com mais cuidado.

Passo 3

Vamos manipular o numerador de forma exata para ver o comportamento da parte que não é a singularidade 2/x. Defina
S(x)=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}.
Queremos entender S(x)-2. Escrevemos cada raiz menos 1 e racionalizamos:
\sqrt{1+x}-1=\frac{(1+x)-1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{x}{\sqrt{1+x}+1},
\sqrt{1-x}-1=\frac{(1-x)-1}{\sqrt{1-x}+1}=\frac{-x}{\sqrt{1-x}+1}.
Somando essas duas igualdades obtemos
S(x)-2=\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}-\frac{x}{\sqrt{1-x}+1}.

Passo 4

Continuamos a simplificar S(x)-2. Colocando em um único quociente:
S(x)-2=x\left(\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}-\frac{1}{\sqrt{1-x}+1}\right) = x\cdot\frac{\sqrt{1-x}+1-(\sqrt{1+x}+1)}{(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)}.
Isso simplifica para
S(x)-2 = x\cdot\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)} = -x\cdot\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)}.
Agora racionalizamos a diferença \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}:
\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}=\frac{(1+x)-(1-x)}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=\frac{2x}{S(x)}.
Substituindo na expressão anterior:
S(x)-2 = -x\cdot\frac{2x/S(x)}{(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)} = -\frac{2x^{2}}{S(x)\,(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)}.
Esta fórmula é útil porque mostra explicitamente que S(x)-2 é proporcional a x^{2}.

Passo 5

Com a expressão exata para S(x)-2 podemos reescrever a razão original:
\frac{S(x)}{x}=\frac{2+(S(x)-2)}{x}=\frac{2}{x}+\frac{S(x)-2}{x}.
Usando a expressão do passo anterior:
\frac{S(x)-2}{x}=-\frac{2x}{S(x)\,(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)}.
Note que, quando x\to0,
S(x)\to 2,\qquad \sqrt{1+x}+1\to 2,\qquad \sqrt{1-x}+1\to 2,
logo o denominador da fração acima tende a 2\cdot 2\cdot 2=8. Portanto
\lim_{x\to0}\frac{S(x)-2}{x}=\lim_{x\to0}\left(-\frac{2x}{\text{(algo que tende a }8)}\right)=0.
Assim, para x próximo de 0 temos
\frac{S(x)}{x}=\frac{2}{x}+\underbrace{\frac{S(x)-2}{x}}_{\to 0},
ou seja, o termo dominante é \dfrac{2}{x}.

Passo 6

A partir do passo anterior concluímos os limites laterais:
  • Se x\to 0^+, então \dfrac{2}{x}\to +\infty e a parte residual tende a 0, logo
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}=+\infty.
  • Se x\to 0^-, então \dfrac{2}{x}\to -\infty e a parte residual tende a 0, logo
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}=-\infty.
Como os limites laterais não coincidem (têm sinais opostos), o limite bilateral \lim_{x\to0} não existe.

Resposta

O limite não existe.
\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{x}=-\infty

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