Calcule os limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x cresce sem limite positivo:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável x tende a +\infty (ou seja, x fica positiva e muito grande).
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}+1} e um denominador linear x+1.
  • Precisamos encontrar o valor numérico ao qual essa fração se aproxima quando x cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vou transformar a expressão de modo a ver claramente o comportamento quando x é grande. Use a propriedade da raiz:
\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}.
Explicando devagar: fatoramos x^{2} de dentro da raiz; isso é permitido porque x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)=x^{2}+1. Além disso, sabemos que \sqrt{x^{2}}=|x|. Como estamos estudando x\to+\infty, para x suficientemente grande temos |x|=x. Portanto podemos escrever
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\quad\text{para }x>0.

Passo 3

Substituindo essa expressão na fração e simplificando por x (novamente, válido para x>0), obtemos:
\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1} = \frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)} = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}.
Essa forma é ótima porque agora temos funções que tendem a valores fixos quando x\to+\infty.

Passo 4

Agora avaliamos os limites do numerador e do denominador separadamente, usando propriedades básicas de limite e a continuidade da função raiz:
  • Dentro da raiz, \displaystyle 1+\frac{1}{x^{2}}\to 1 quando x\to+\infty. Como a função t\mapsto\sqrt{t} é contínua para t>0, segue que
\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\longrightarrow \sqrt{1}=1.
  • Para o denominador, \displaystyle 1+\frac{1}{x}\to 1 quando x\to+\infty.
Como o limite do numerador é 1 e o limite do denominador é 1 (e o denominador não tende a zero), pelo teorema do quociente de limites temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Conclusão e observação prática: a fração tende a 1. Intuitivamente, para x muito grande a +1 dentro da raiz e o +1 no denominador são irrelevantes diante de x^{2} e x, então a expressão se comporta como \dfrac{x}{x}=1. Exemplos semelhantes: \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+5}}{x+2}=1 seguindo o mesmo raciocínio.

Resposta

1

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