Calcule os limites no infinito:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
cresce sem limite positivo:
Informações relevantes dadas:
- A variável
tende a (ou seja, fica positiva e muito grande). - A expressão envolve uma raiz quadrada
e um denominador linear . - Precisamos encontrar o valor numérico ao qual essa fração se aproxima quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vou transformar a expressão de modo a ver claramente o comportamento quando
é grande. Use a propriedade da raiz:
Explicando devagar: fatoramos
de dentro da raiz; isso é permitido porque
. Além disso, sabemos que
. Como estamos estudando
, para
suficientemente grande temos
. Portanto podemos escrever
Passo 3
Substituindo essa expressão na fração e simplificando por
(novamente, válido para
), obtemos:
Essa forma é ótima porque agora temos funções que tendem a valores fixos quando
.
Passo 4
Agora avaliamos os limites do numerador e do denominador separadamente, usando propriedades básicas de limite e a continuidade da função raiz:
- Dentro da raiz,
quando . Como a função é contínua para , segue que
- Para o denominador,
quando .
Como o limite do numerador é
e o limite do denominador é
(e o denominador não tende a zero), pelo teorema do quociente de limites temos
Passo 5
Conclusão e observação prática: a fração tende a
. Intuitivamente, para
muito grande a
dentro da raiz e o
no denominador são irrelevantes diante de
e
, então a expressão se comporta como
. Exemplos semelhantes:
seguindo o mesmo raciocínio.