Calcule os limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{3}-3 x^{2}+2}{-x^{2}+7}.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a -\infty da função racional
\frac{2x^{3}-3x^{2}+2}{-x^{2}+7}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2x^{3}-3x^{2}+2.
  • Denominador: -x^{2}+7.
  • Queremos \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2x^{3}-3x^{2}+2}{-x^{2}+7}.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando x tende a infinito em uma função racional, os termos de maior potência de x dominam o comportamento. Para ver isso de forma limpa vamos dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no numerador, que é x^{3}. Assim transformamos a expressão em termos que tendem a zero (como 1/x, 1/x^{2}, 1/x^{3}), e fica fácil identificar o limite. Esta técnica é prática na prova porque elimina os termos menores sem cálculos complicados.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{3} obtemos (coloco a igualdade em bloco para ficar claro):
\frac{2x^{3}-3x^{2}+2}{-x^{2}+7} = \frac{\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{3x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{2}{x^{3}}}{\dfrac{-x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{7}{x^{3}}} = \frac{2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{3}}}{-\dfrac{1}{x}+\dfrac{7}{x^{3}}}.

Passo 4

Comportamento das parcelas quando x\to -\infty (explicando por que cada uma tende a zero):
  • \dfrac{1}{x}\to 0 porque ao dividir 1 por um número com módulo cada vez maior o quociente vai para zero. Como x é negativo grande, \dfrac{1}{x} tende a 0^{-} (ou seja, aproxima-se de zero vindo de valores negativos).
  • \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 e é sempre positivo para x\neq0, então tende a 0^{+}.
  • \dfrac{1}{x^{3}}\to 0 e, como x^{3} herda o sinal de x, para x\to -\infty temos \dfrac{1}{x^{3}}\to 0^{-}.

Passo 5

Aplicando esses limites term a term no numerador e no denominador da expressão do Passo 3:
  • No numerador: 2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{3}}\to 2-0+0 = 2.
  • No denominador: -\dfrac{1}{x}+\dfrac{7}{x^{3}}\to 0+0 = 0.
Então a expressão tende para algo da forma \dfrac{2}{0}, ou seja, uma quantidade que diverge para infinito com sinal determinado pelo sinal do denominador quando x é grande negativo.

Passo 6

Determinar o sinal do denominador para x muito negativo (importante para saber se o infinito é +\infty ou -\infty). Reescrevo o denominador do Passo 3 fatorando \dfrac{1}{x}:
-\dfrac{1}{x}+\dfrac{7}{x^{3}}=\dfrac{1}{x}\left(-1+\dfrac{7}{x^{2}}\right).
Para x\to -\infty:
  • \dfrac{1}{x} é negativo e tende a 0^{-}.
  • -1+\dfrac{7}{x^{2}} tende a -1+0 = -1, ou seja, é negativo para x de módulo grande (pois \dfrac{7}{x^{2}} é pequeno).
Produto: \dfrac{1}{x} (negativo) vezes (-1+\dfrac{7}{x^{2}}) (negativo) dá um resultado positivo. Logo, para x muito negativo o denominador é um número pequeno e positivo, isto é, tende a 0^{+}.

Passo 7

Concluímos a partir dos passos anteriores:
  • Numerador tende para 2>0.
  • Denominador tende para 0^{+} (positivo pequeno).
    Portanto o quociente tende para +\infty.
Também é possível ver de modo rápido: para x grandes em módulo a expressão se comporta como \dfrac{2x^{3}}{-x^{2}}=-2x, e para x\to -\infty isso vale -2\cdot(-\infty)=+\infty, o que confirma a conclusão.

Resposta

+\infty

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