Calcule os limites no infinito:
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função racional
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Queremos
.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando
tende a infinito em uma função racional, os termos de maior potência de
dominam o comportamento. Para ver isso de forma limpa vamos dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no numerador, que é
. Assim transformamos a expressão em termos que tendem a zero (como
,
,
), e fica fácil identificar o limite. Esta técnica é prática na prova porque elimina os termos menores sem cálculos complicados.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
obtemos (coloco a igualdade em bloco para ficar claro):
Passo 4
Comportamento das parcelas quando
(explicando por que cada uma tende a zero):
-
porque ao dividir 1 por um número com módulo cada vez maior o quociente vai para zero. Como é negativo grande, tende a (ou seja, aproxima-se de zero vindo de valores negativos). -
e é sempre positivo para , então tende a . -
e, como herda o sinal de , para temos .
Passo 5
Aplicando esses limites term a term no numerador e no denominador da expressão do Passo 3:
- No numerador:
- No denominador:
Então a expressão tende para algo da forma
, ou seja, uma quantidade que diverge para infinito com sinal determinado pelo sinal do denominador quando
é grande negativo.
Passo 6
Determinar o sinal do denominador para
muito negativo (importante para saber se o infinito é
ou
). Reescrevo o denominador do Passo 3 fatorando
:
Para
:
-
é negativo e tende a . -
tende a , ou seja, é negativo para de módulo grande (pois é pequeno).
Produto:
(negativo) vezes
(negativo) dá um resultado positivo. Logo, para
muito negativo o denominador é um número pequeno e positivo, isto é, tende a
.
Passo 7
Concluímos a partir dos passos anteriores:
- Numerador tende para
. - Denominador tende para
(positivo pequeno).
Portanto o quociente tende para.
Também é possível ver de modo rápido: para
grandes em módulo a expressão se comporta como
, e para
isso vale
, o que confirma a conclusão.