Calcule os limites laterais, se existirem (como números reais, ou \infty, ou -\infty ):
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|x|}{x^{2}-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lateral \displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x^2-2x}.
O conteúdo principal aqui é limite lateral e definição da função valor absoluto. Vamos usar que para x<0 vale \lvert x\rvert=-x e depois simplificar a expressão para avaliar o limite.

Passo 2

Para x<0 temos
\lvert x\rvert = -x.
Portanto, para x se aproximando de 0 pela esquerda,
\frac{|x|}{x^2-2x} =\frac{-x}{x^2-2x}.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador x^2-2x:
x^2-2x = x(x-2).
Então a expressão fica
\frac{-x}{x(x-2)} = -\frac{1}{x-2},
válida para x\neq0.

Passo 4

Basta avaliar o limite de -\frac{1}{x-2} quando x\to0^-. Assim,
\lim_{x\to0^-}\Bigl(-\frac{1}{x-2}\Bigr) =-\frac{1}{0-2} =-\frac{1}{-2} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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