Calcule os limites laterais indicados.
lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lateral direito
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{x^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • A expressão está definida para todo x\neq 0; em particular, no proxímo de 0 à direita temos x>0.
  • Para x\neq 0 vale x^{2}>0, então f(x)>0.

Passo 2

Intuição prática (antes da demonstração formal): se x é um número positivo muito pequeno, então x^{2} é ainda mais pequeno, e o recíproco de um número muito pequeno é um número muito grande. Exemplos numéricos:
x=0{,}1\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{0{,}1^{2}}=\frac{1}{0{,}01}=100,
x=0{,}01\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{0{,}01^{2}}=\frac{1}{0{,}0001}=10000.
Esses exemplos mostram que, quando x\to 0^{+}, os valores de \dfrac{1}{x^{2}} crescem sem limite.

Passo 3

Vou formalizar a ideia usando a definição de limite que tende a +\infty. Dizemos que
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty
se para todo M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<x<\delta, então f(x)>M. Em palavras: podemos forçar f(x) a ficar maior que qualquer nível M escolhendo x suficientemente perto de 0 pela direita.

Passo 4

Aplicando essa definição a f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}: queremos, dado M>0, encontrar \delta>0 tal que
0<x<\delta \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x^{2}}>M.
Resolvendo a desigualdade \dfrac{1}{x^{2}}>M obtemos:
\frac{1}{x^{2}}>M \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}<\frac{1}{M}.
Como estamos considerando x>0 (limite pela direita), isso é equivalente a
0<x<\frac{1}{\sqrt{M}}.

Passo 5

Portanto, para qualquer M>0 basta escolher
\delta=\frac{1}{\sqrt{M}}.
Com essa escolha, toda vez que 0<x<\delta teremos \dfrac{1}{x^{2}}>M. Isso verifica a definição de limite infinito para x\to 0^{+}. Logo
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{x^{2}} = +\infty.

Resposta

+\infty

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