Calcule o limite da sucessão \left(a_{n}\right) cujo termo geral é
a_{n}=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)} .

Passo 1

O enunciado define a sucessão \left(a_{n}\right) cujo termo geral é a soma dos primeiros n termos
a_{n}=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}.
O que é pedido: calcular o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}.
Informações relevantes dadas:
  • Cada parcela é da forma \dfrac{1}{k(k+1)} para k=1,2,\dots,n.
  • A soma é a soma parcial dos n primeiros termos dessa sequência de frações.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática): muitas somas desse tipo são telescópicas — isto é, podemos escrever cada termo como a diferença de duas frações de forma que, ao somar, quase tudo se cancele. Para escrever \dfrac{1}{k(k+1)} como diferença, usamos a decomposição em frações parciais.
Explicando a decomposição em frações parciais de forma simples: buscamos constantes A e B tais que
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}.
Aqui k é um inteiro positivo qualquer. A ideia é transformar uma fração com produto no denominador em soma de frações mais simples.

Passo 3

Encontrar A e B. Multiplicando ambos os lados por k(k+1) obtemos uma igualdade de polinômios:
1 = A(k+1)+B k.
Desenvolvendo o lado direito:
1 = (A+B)k + A.
Para que isso seja verdade para todo k, os coeficientes devem coincidir. Assim:
  • coeficiente de k: A+B=0,
  • termo independente: A=1.
Daqui A=1 e B=-1. Portanto a identidade é
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.
Comentário didático: essa é a chave do telescópio — cada termo é diferença entre duas frações consecutivas.

Passo 4

Aplicar a identidade à soma. Escrevendo cada parcela como diferença e somando de k=1 até k=n:
a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).
Agora expandimos os primeiros termos para ver o cancelamento:
a_{n}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Observe que -\frac{1}{2} cancela com +\frac{1}{2}, -\frac{1}{3} com +\frac{1}{3} e assim por diante. Tudo cancela exceto o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Logo sobra:
a_{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida para a_{n}. Como \dfrac{1}{1}=1, temos
a_{n}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.
Explicação didática sobre comportamento quando n\to\infty: para calcular o limite de \dfrac{n}{n+1}, uma maneira simples é dividir numerador e denominador por n:
\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{n}}.
Quando n\to\infty, \tfrac{1}{n}\to0, portanto 1+\tfrac{1}{n}\to1 e
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+0}=1.
Comentário extra (intuição): a soma parcial cresce aproximando-se de 1, e cada novo termo \dfrac{1}{n(n+1)} é muito pequeno quando n é grande, fazendo com que a soma converge para 1.

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para reforçar o padrão:
  • Para n=1: a_{1}=\dfrac{1}{1\cdot2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+1}.
  • Para n=2: a_{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{2+1}.
  • Para n=3: a_{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{3+1}.
Esses exemplos confirmam a fórmula a_{n}=\dfrac{n}{n+1} antes de passarmos ao limite.

Resposta

1

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