Calcule o limite da sucessão
cujo termo geral é
Passo 1
O enunciado define a sucessão
cujo termo geral é a soma dos primeiros
termos
O que é pedido: calcular o limite
.
Informações relevantes dadas:
- Cada parcela é da forma
para . - A soma é a soma parcial dos
primeiros termos dessa sequência de frações.
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicação didática): muitas somas desse tipo são telescópicas — isto é, podemos escrever cada termo como a diferença de duas frações de forma que, ao somar, quase tudo se cancele. Para escrever
como diferença, usamos a decomposição em frações parciais.
Explicando a decomposição em frações parciais de forma simples: buscamos constantes
e
tais que
Aqui
é um inteiro positivo qualquer. A ideia é transformar uma fração com produto no denominador em soma de frações mais simples.
Passo 3
Encontrar
e
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma igualdade de polinômios:
Desenvolvendo o lado direito:
Para que isso seja verdade para todo
, os coeficientes devem coincidir. Assim:
- coeficiente de
: , - termo independente:
.
Daqui
e
. Portanto a identidade é
Comentário didático: essa é a chave do telescópio — cada termo é diferença entre duas frações consecutivas.
Passo 4
Aplicar a identidade à soma. Escrevendo cada parcela como diferença e somando de
até
:
Agora expandimos os primeiros termos para ver o cancelamento:
Observe que
cancela com
,
com
e assim por diante. Tudo cancela exceto o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Logo sobra:
Passo 5
Simplificar a expressão obtida para
. Como
, temos
Explicação didática sobre comportamento quando
: para calcular o limite de
, uma maneira simples é dividir numerador e denominador por
:
Quando
,
, portanto
e
Comentário extra (intuição): a soma parcial cresce aproximando-se de
, e cada novo termo
é muito pequeno quando
é grande, fazendo com que a soma converge para
.
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos para reforçar o padrão:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Esses exemplos confirmam a fórmula
antes de passarmos ao limite.