Calcule os limites laterais indicados.
lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x-3}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lateral
\lim_{x\to 0^-}\frac{x-3}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função a analisar é \dfrac{x-3}{x^{2}}.
  • A aproximação é por valores de x que vêm pela esquerda de 0, isto é x\to 0^-.

Passo 2

Vamos ver o comportamento das partes da fração separadamente quando x\to 0^-.
  • O numerador: \displaystyle \lim_{x\to 0^-}(x-3)=0-3=-3. Ou seja, o numerador tende para a constante -3.
  • O denominador: para qualquer x\neq 0 tem-se x^{2}>0. Quando x\to 0 (tanto pela esquerda quanto pela direita) x^{2}\to 0^{+} — o quadrado tende a zero por valores positivos muito pequenos.
Portanto, ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda, o numerador se aproxima de -3 (um número fixo negativo) e o denominador se aproxima de 0^{+} (um número positivo muito pequeno).

Passo 3

Regra intuitiva útil: se o numerador tende para uma constante finita não nula e o denominador tende para 0, o quociente tende a infinito em módulo. O sinal do infinito é dado pelo sinal do numerador dividido pelo sinal (positivo/negativo) do denominador. Aqui o denominador tende para 0^{+} (positivo) e o numerador tende para um número negativo ( -3), logo o quociente deve tender para -\infty.

Passo 4

Como verificação alternativa, decompomos a expressão:
\frac{x-3}{x^{2}}=\frac{x}{x^{2}}-\frac{3}{x^{2}}=\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}.
Quando x\to 0^-:
  • \dfrac{1}{x}\to -\infty porque dividir por um número negativo que vai a zero dá -\infty.
  • \dfrac{3}{x^{2}}\to +\infty, então -\dfrac{3}{x^{2}}\to -\infty.
A soma de dois termos que tendem para -\infty também tende para -\infty. Isso confirma a conclusão do passo anterior.

Resposta

-\infty

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