Calcule os limites laterais e o limite quando x \rightarrow a\), caso existam:
\(f(x)= \begin{cases}3 x-2, & \text { se } x>1 \\\\ 2, & \text { se } x=1 ; a=1 ; \\\\ 4 x+1, & \text { se } x<1\end{cases}
Calcular o limite lateral direito \lim_{x\to1^+} f(x).
Calcular o limite lateral esquerdo \lim_{x\to1^-} f(x).
Calcular o limite \lim_{x\to1} f(x), caso exista.
Além disso, temos a informação explícita de que f(1)=2.]
Passo 2
O que significa calcular limite lateral?
\lim_{x\to1^+} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x vai para 1 vindO pela direita (valores maiores que 1).
\lim_{x\to1^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x vai para 1 vindO pela esquerda (valores menores que 1).
Regra prática para funções polinomiais (retas, quadráticas etc.): são contínuas em todos os pontos reais, então o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto (ou seja, basta substituir). No caso de função por partes, para a lateral direita usamos a fórmula válida para x>1; para a lateral esquerda usamos a fórmula válida para x<1. Se as duas laterais coincidirem temos o limite comum; se não coincidirem, o limite \lim_{x\to1} f(x) não existe.
Passo 3
Calcular \lim_{x\to1^+} f(x). Para x>1 a definição é f(x)=3x-2. Como 3x-2 é uma função polinomial/linear, podemos avaliar o limite substituindo x=1:
Comparando as duas laterais: \lim_{x\to1^+} f(x)=1 e \lim_{x\to1^-} f(x)=5. Como os limites laterais são diferentes, o limite total \lim_{x\to1} f(x) não existe. Observação final: o valor da função em 1 é f(1)=2 (dado), mas mesmo que fosse igual a uma das laterais, isso não mudaria o fato de que o limite total não existe quando as laterais não coincidem.