Calcule os limites laterais e o limite quando x \rightarrow a\), caso existam: \(f(x)= \begin{cases}3 x-2, & \text { se } x>1 \\\\ 2, & \text { se } x=1 ; a=1 ; \\\\ 4 x+1, & \text { se } x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}3x-2, & \text{se } x>1,\\[4pt] 2, & \text{se } x=1,\\[4pt] 4x+1, & \text{se } x<1,\end{cases}
e informa a=1. As perguntas são:
  • Calcular o limite lateral direito \lim_{x\to1^+} f(x).
  • Calcular o limite lateral esquerdo \lim_{x\to1^-} f(x).
  • Calcular o limite \lim_{x\to1} f(x), caso exista.
    Além disso, temos a informação explícita de que f(1)=2.]

Passo 2

O que significa calcular limite lateral?
  • \lim_{x\to1^+} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x vai para 1 vindO pela direita (valores maiores que 1).
  • \lim_{x\to1^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x vai para 1 vindO pela esquerda (valores menores que 1).
Regra prática para funções polinomiais (retas, quadráticas etc.): são contínuas em todos os pontos reais, então o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto (ou seja, basta substituir). No caso de função por partes, para a lateral direita usamos a fórmula válida para x>1; para a lateral esquerda usamos a fórmula válida para x<1. Se as duas laterais coincidirem temos o limite comum; se não coincidirem, o limite \lim_{x\to1} f(x) não existe.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to1^+} f(x). Para x>1 a definição é f(x)=3x-2. Como 3x-2 é uma função polinomial/linear, podemos avaliar o limite substituindo x=1:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (3x-2)=3\cdot 1 - 2=3-2=1.
Então \lim_{x\to1^+} f(x)=1.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to1^-} f(x). Para x<1 a definição é f(x)=4x+1. Novamente é uma reta, então substituímos x=1:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} (4x+1)=4\cdot 1 + 1=4+1=5.
Então \lim_{x\to1^-} f(x)=5.

Passo 5

Comparando as duas laterais: \lim_{x\to1^+} f(x)=1 e \lim_{x\to1^-} f(x)=5. Como os limites laterais são diferentes, o limite total \lim_{x\to1} f(x) não existe. Observação final: o valor da função em 1 é f(1)=2 (dado), mas mesmo que fosse igual a uma das laterais, isso não mudaria o fato de que o limite total não existe quando as laterais não coincidem.

Resposta

\lim_{x\to1^+} f(x)=1
\lim_{x\to1^-} f(x)=5
\lim_{x\to1} f(x)=\text{não existe}ã

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