Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right).
Informações relevantes: x tende a -\infty (ou seja, x é muito negativo), as expressões dentro das raízes são positivas para todo x real, e queremos o comportamento da diferença entre duas raízes que ficam grandes quando |x| cresce.

Passo 2

Truque algébrico útil: quando temos a diferença de duas raízes, uma técnica fácil e segura é multiplicar e dividir pela conjugada para eliminar as raízes no numerador. Aplicando isso,
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1} = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\big)\big(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}\big)}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.
No numerador obtemos a diferença de quadrados, então
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1} = \frac{(x^{2}+1)-(x^{2}-1)}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 3

Calcule o numerador simples:
(x^{2}+1)-(x^{2}-1)=2.
Portanto a expressão fica
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1} = \frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.
Esse passo já é excelente: transformamos a diferença de duas raízes numa fração simples com numerador 2.

Passo 4

Para estudar o limite quando x\to -\infty, observe que é conveniente fatorar |x| nas raízes. Lembre que |x|=\sqrt{x^{2}} e, para x negativo, |x|=-x. Podemos dividir numerador e denominador por |x|:
\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{2}{|x|\big(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}\big)}.

Passo 5

Agora usamos limites simples: quando x\to -\infty temos \tfrac{1}{x^{2}}\to 0. Então as raízes internas tendem a 1:
\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}\to 1,\qquad \sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}\to 1.
Logo o fator entre parênteses tende a 1+1=2. Assim, para x muito negativo,
\frac{2}{|x|\big(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}\big)} \sim \frac{2}{|x|\cdot 2}=\frac{1}{|x|}.

Passo 6

Como x\to -\infty implica |x|\to +\infty, temos \tfrac{1}{|x|}\to 0. Portanto a expressão original tende a 0. Intuição: são duas quantidades grandes e quase iguais, então a diferença vai para zero.

Resposta

0

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