Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes:
tende a
(ou seja,
é muito negativo), as expressões dentro das raízes são positivas para todo
real, e queremos o comportamento da diferença entre duas raízes que ficam grandes quando
cresce.
Passo 2
Truque algébrico útil: quando temos a diferença de duas raízes, uma técnica fácil e segura é multiplicar e dividir pela conjugada para eliminar as raízes no numerador. Aplicando isso,
No numerador obtemos a diferença de quadrados, então
Passo 3
Calcule o numerador simples:
Portanto a expressão fica
Esse passo já é excelente: transformamos a diferença de duas raízes numa fração simples com numerador
.
Passo 4
Para estudar o limite quando
, observe que é conveniente fatorar
nas raízes. Lembre que
e, para
negativo,
. Podemos dividir numerador e denominador por
:
Passo 5
Agora usamos limites simples: quando
temos
. Então as raízes internas tendem a
:
Logo o fator entre parênteses tende a
. Assim, para
muito negativo,
Passo 6
Como
implica
, temos
. Portanto a expressão original tende a
. Intuição: são duas quantidades grandes e quase iguais, então a diferença vai para zero.