Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende para +\infty da expressão
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}.
Informações importantes dadas:
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, valores de x positivos e muito grandes).
  • A expressão envolve duas raízes quadradas com termos x^{2}\pm 1.
  • Não há outras condições escondidas (a expressão está bem definida para x real com |x|\ge1, e como estamos com x\to+\infty isso não é problema).

Passo 2

Estratégia inicial (técnica que costuma funcionar para diferenças de raízes): multiplicar e dividir pela conjugada para eliminar as raízes no numerador. Vou aplicar isso à expressão:
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1} = \left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right) \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.
Isso é válido porque estamos multiplicando por 1. Agora calcule o produto no numerador usando (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.

Passo 3

Executando a multiplicação no numerador obtemos uma expressão sem diferença de raízes:
\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right) \cdot \left(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}\right) = (x^{2}+1)-(x^{2}-1)=2.
Portanto a expressão original pode ser reescrita como
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}=\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 4

Agora vamos estudar o limite da forma racionalizada. Como x\to+\infty, é útil fatorar x das raízes (isso é permitido porque x>0 quando x\to+\infty). Escrevemos:
\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1} = x\Big(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}\Big).
Logo
\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{2}{x\Big(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}\Big)}.
Aqui usei a propriedade \sqrt{x^{2}\pm 1}=x\sqrt{1\pm 1/x^{2}} válida para x>0.

Passo 5

Agora aplicamos limites nas funções dentro da expressão. Como x\to+\infty temos \tfrac{1}{x^{2}}\to 0. A função \sqrt{\cdot} é contínua, então
\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}\to 1 \qquad\text{e}\qquad \sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}\to 1.
Portanto o parêntese tende a 1+1=2. Assim o denominador da fração tende a x\cdot 2=2x, e a expressão tende a
\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.

Passo 6

Como \frac{1}{x}\to 0 quando x\to+\infty, concluímos que a expressão original tende a 0. Para ver de forma intuitiva alternativa, podemos também usar a expansão assintótica rápida:
\sqrt{x^{2}\pm 1}=x\sqrt{1\pm\tfrac{1}{x^{2}}}\approx x\left(1\pm\tfrac{1}{2x^{2}}\right)=x\pm\tfrac{1}{2x},
então a diferença vale aproximadamente \tfrac{1}{x}, que vai para 0 quando x\to+\infty. Um cheque numérico: para x=100 a diferença é da ordem de 0,01, já bem pequena.

Resposta

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