Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende para
da expressão
Informações importantes dadas:
- A variável
tende para (ou seja, valores de positivos e muito grandes). - A expressão envolve duas raízes quadradas com termos
. - Não há outras condições escondidas (a expressão está bem definida para
real com , e como estamos com isso não é problema).
Passo 2
Estratégia inicial (técnica que costuma funcionar para diferenças de raízes): multiplicar e dividir pela conjugada para eliminar as raízes no numerador. Vou aplicar isso à expressão:
Isso é válido porque estamos multiplicando por
. Agora calcule o produto no numerador usando
.
Passo 3
Executando a multiplicação no numerador obtemos uma expressão sem diferença de raízes:
Portanto a expressão original pode ser reescrita como
Passo 4
Agora vamos estudar o limite da forma racionalizada. Como
, é útil fatorar
das raízes (isso é permitido porque
quando
). Escrevemos:
Logo
Aqui usei a propriedade
válida para
.
Passo 5
Agora aplicamos limites nas funções dentro da expressão. Como
temos
. A função
é contínua, então
Portanto o parêntese tende a
. Assim o denominador da fração tende a
, e a expressão tende a
Passo 6
Como
quando
, concluímos que a expressão original tende a
. Para ver de forma intuitiva alternativa, podemos também usar a expansão assintótica rápida:
então a diferença vale aproximadamente
, que vai para
quando
. Um cheque numérico: para
a diferença é da ordem de
, já bem pequena.