Calcule os limites laterais e verifique se existe o limite da função abaixo no ponto \mathrm{x}=-1.
f(x)=\left\{\begin{array}{l} -x+5, \text { se } x<-1 \\\\ 2 x-1, \text { se } x \geq-1 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes e pede duas coisas: calcular os limites laterais em x=-1 e verificar se o limite da função existe nesse ponto.
Informações dadas:
Para x<-1 vale f(x) = -x + 5.
Para x\ge -1 vale f(x) = 2x - 1.
O que precisamos entregar:
\displaystyle \lim_{x\to -1^-} f(x) (limite pela esquerda);
\displaystyle \lim_{x\to -1^+} f(x) (limite pela direita);
Concluir se \displaystyle \lim_{x\to -1} f(x) existe ou não.
Passo 2
Entendendo o que é cada limite lateral (explicação passo a passo, sem pular etapas).
\displaystyle \lim_{x\to -1^-} f(x) significa: aproximar x de -1 por valores menores que -1. Ao fazer isso, só podemos usar a expressão da definição que vale para x<-1, que é -x+5.
\displaystyle \lim_{x\to -1^+} f(x) significa: aproximar x de -1 por valores maiores que (ou iguais a) -1. Ao fazer isso, usamos a expressão que vale para x\ge -1, que é 2x-1.
Dica prática (útil na prova): se a expressão usada na vizinhança do ponto é uma função polinomial ou afim (reta) como aqui, essas funções são contínuas, então o limite quando x se aproxima de um ponto é simplesmente o valor obtido substituindo x pelo ponto. Ou seja, para uma função contínua g,
\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Isso permite calcular os limites aqui por substituição direta nas expressões correspondentes.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda usando a expressão para x<-1:
\lim_{x\to -1^-} f(x)=\lim_{x\to -1^-}(-x+5).
Como -x+5 é contínua, substitui-se x=-1:
\lim_{x\to -1^-}(-x+5) = -(-1)+5 = 1+5 = 6.
Passo 4
Calcular o limite pela direita usando a expressão para x\ge -1:
\lim_{x\to -1^+} f(x)=\lim_{x\to -1^+}(2x-1).
Substituindo x=-1 (função afim contínua):
\lim_{x\to -1^+}(2x-1) = 2(-1)-1 = -2-1 = -3.
Também é útil observar o valor da função no ponto:
f(-1) = 2(-1)-1 = -3,
pois a definição diz que para x\ge -1 usamos 2x-1.
Passo 5
Comparação e conclusão sobre existência do limite:
Encontramos \displaystyle \lim_{x\to -1^-} f(x)=6 e \displaystyle \lim_{x\to -1^+} f(x)=-3.
Para que o limite \displaystyle \lim_{x\to -1} f(x) exista é preciso que os dois limites laterais sejam iguais. Como 6\neq -3, os limites laterais são diferentes.
Logo, \displaystyle \lim_{x\to -1} f(x) NÃO existe.
Observação sobre continuidade: o valor da função em -1 é f(-1)=-3, mas mesmo assim a função é descontínua em x=-1 porque os limites laterais não coincidem. Esse tipo de descontinuidade é chamado de descontinuidade do tipo salto (jump).
Passo 6
Resumo rápido para a prova (truque prático):
Em funções por partes, calcule os limites laterais usando cada ramo apropriado e substitua se o ramo for contínuo.
Se os limites laterais coincidirem, esse é o limite; se não coincidirem, o limite não existe.
Força — você tá indo bem: esse tipo de exercício é sempre direto quando se segue esse procedimento passo a passo!