Calcule os limites laterais e verifique se existe o limite da função abaixo no ponto x=2.
f(x)=\left\{\begin{array}{l} -x+5, \text { se } x<2 \\\\ 2 x-1, \text { se } x \geq 2 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para calcular os limites laterais e verificar se existe o limite da função no ponto x=2. A função dada é por partes, com as seguintes informações:
Para x<2: f(x)=-x+5.
Para x\geq2: f(x)=2x-1.
As perguntas são, explicitamente:
Calcular \lim_{x\to2^-} f(x) (limite pela esquerda).
Calcular \lim_{x\to2^+} f(x) (limite pela direita).
Verificar se \lim_{x\to2} f(x) existe (isto é, se os limites laterais são iguais) e dar o valor se existir.
Passo 2
Entendendo o que é o limite lateral pela esquerda \lim_{x\to2^-} f(x): isso significa observar os valores de f(x) quando x se aproxima de 2 por valores menores que 2 (por exemplo 1{,}9, 1{,}99, etc.). Para esses x<2 usamos a expressão da primeira linha da definição da função, que é f(x)=-x+5.
Regra prática para funções polinomiais/lineares: linear é contínua, então o valor de f(x) quando x se aproxima de um ponto é obtido simplesmente substituindo o ponto na expressão. Aqui aplicamos isso à expressão -x+5.
Agora o limite lateral pela direita \lim_{x\to2^+} f(x): isto é olhar os valores de f(x) quando x se aproxima de 2 por valores maiores ou iguais a 2 (por exemplo 2{,}1, 2{,}01, etc.). Para esses x usamos a segunda expressão da definição, f(x)=2x-1.
Aplicando a mesma ideia (substituição na função linear):