Calcule os seguintes limites no infinito
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{9 x^{4}-3 x^{2}+5 x}{3 x^{4}-2 x+3}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite no infinito
\lim_{x\to+\infty}\frac{9x^{4}-3x^{2}+5x}{3x^{4}-2x+3}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio \,9x^{4}-3x^{2}+5x\,.
  • O denominador é o polinômio \,3x^{4}-2x+3\,.
  • A variável tende para +\infty.

Passo 2

Ideia: quando x\to+\infty os termos de maior potência de x dominam o comportamento de um polinômio. Aqui ambos numerador e denominador têm grau \,4. Para formalizar isso, divide-se numerador e denominador por x^{4} (a maior potência presente) para transformar a expressão em termos que tendem para zero.

Passo 3

Dividindo por x^{4} obtemos
\frac{9x^{4}-3x^{2}+5x}{3x^{4}-2x+3} = \frac{9 - \dfrac{3}{x^{2}} + \dfrac{5}{x^{3}}}{3 - \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}}.

Passo 4

Fato usado: para todo k>0 vale
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{k}}=0,
pois o denominador cresce sem limite e a fração tende a zero. Aplicando isso a cada termo com potência negativa, obtemos
\lim_{x\to+\infty}\left(9 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}}\right)=9 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}\left(3 - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}\right)=3.

Passo 5

Pela propriedade do limite do quociente (limite do numerador dividido pelo limite do denominador, quando o denominador não é zero), concluímos
\lim_{x\to+\infty}\frac{9x^{4}-3x^{2}+5x}{3x^{4}-2x+3} =\frac{9}{3}=3.

Resposta

3

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