Calcule os limites.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{4-\sqrt{16+h}}{h}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando h tende a zero da expressão
\frac{4-\sqrt{16+h}}{h}.
Informações dadas:
  • A variável é h e o limite é \displaystyle\lim_{h\to 0}.
  • A expressão contém uma raiz quadrada \sqrt{16+h}.
  • Quer-se um número (o valor do limite) — não há mais dados ocultos.

Passo 2

Primeiro teste: substituir h=0 diretamente para ver o que acontece.
\frac{4-\sqrt{16+0}}{0}=\frac{4-4}{0}=\frac{0}{0}.
O resultado \tfrac{0}{0} é uma forma indeterminada: não dá o valor do limite e indica que precisamos manipular algebricamente a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Técnica escolhida: racionalizar o numerador usando o conjugado. Isto funciona porque a identidade
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}
permite eliminar a raiz ao multiplicar por a+b. Aplicando com a=4 e b=\sqrt{16+h}, multiplicamos numerador e denominador por 4+\sqrt{16+h} (fator igual a 1, então não altera o valor):
\frac{4-\sqrt{16+h}}{h}\cdot\frac{4+\sqrt{16+h}}{4+\sqrt{16+h}} = \frac{(4-\sqrt{16+h})(4+\sqrt{16+h})}{h(4+\sqrt{16+h})}.

Passo 4

Calcule o produto do numerador usando a identidade:
(4-\sqrt{16+h})(4+\sqrt{16+h})=4^{2}-(\sqrt{16+h})^{2}=16-(16+h)=-h.
Assim a expressão fica
\frac{-h}{h(4+\sqrt{16+h})}.

Passo 5

Agora podemos cancelar o fator h (isso é válido para h\neq0; como estamos tomando limite quando h\to0, consideramos valores próximos de zero, mas não exatamente zero):
\frac{-h}{h(4+\sqrt{16+h})}=-\frac{1}{4+\sqrt{16+h}}.

Passo 6

Com a expressão simplificada, o limite é direto: a função \sqrt{16+h} é contínua em h=0, então podemos substituir h=0 na expressão simplificada:
\lim_{h\to 0}\left(-\frac{1}{4+\sqrt{16+h}}\right) =-\frac{1}{4+\sqrt{16+0}} =-\frac{1}{4+4} =-\frac{1}{8}.

Passo 7

Interpretação alternativa curta (útil para a prova): note que
\frac{4-\sqrt{16+h}}{h}=-\frac{\sqrt{16+h}-4}{h},
e \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{16+h}-4}{h} é a definição do derivado de f(x)=\sqrt{x} em x=16. Como f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, em x=16 tem-se f'(16)=\dfrac{1}{8}, então o limite original é -\dfrac{1}{8}. É só outra forma de ver o mesmo resultado.

Resposta

-\dfrac{1}{8}

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