Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a zero da expressão
Informações dadas:
- A variável é
e o limite é . - A expressão contém uma raiz quadrada
. - Quer-se um número (o valor do limite) — não há mais dados ocultos.
Passo 2
Primeiro teste: substituir
diretamente para ver o que acontece.
O resultado
é uma forma indeterminada: não dá o valor do limite e indica que precisamos manipular algebricamente a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 3
Técnica escolhida: racionalizar o numerador usando o conjugado. Isto funciona porque a identidade
permite eliminar a raiz ao multiplicar por
. Aplicando com
e
, multiplicamos numerador e denominador por
(fator igual a 1, então não altera o valor):
Passo 4
Calcule o produto do numerador usando a identidade:
Assim a expressão fica
Passo 5
Agora podemos cancelar o fator
(isso é válido para
; como estamos tomando limite quando
, consideramos valores próximos de zero, mas não exatamente zero):
Passo 6
Com a expressão simplificada, o limite é direto: a função
é contínua em
, então podemos substituir
na expressão simplificada:
Passo 7
Interpretação alternativa curta (útil para a prova): note que
e
é a definição do derivado de
em
. Como
, em
tem-se
, então o limite original é
. É só outra forma de ver o mesmo resultado.
Resposta
-\dfrac{1}{8}