Determine a transformada de Fourier de senos de f(x) : f(x)=\left\{\begin{array}{l}1,0 \leq x<1 \\\\ 0, x \geq 1\end{array} \quad\right.’
Passo 1
O enunciado dá a função definida para x\ge0\):
\[f(x)=\begin{cases} 1, & 0 \le x < 1,\\[4pt] 0, & x \ge 1. \end{cases}
A pergunta é: determinar a transformada de Fourier de senos (transformada seno) de f(x)\].
Informações relevantes que temos:
- \(f(x) é suportada em [0,1), ou seja, fora desse intervalo vale zero.
- A transformada de seno é apropriada para funções definidas em [0,\infty).]
Passo 2
Vou escolher a definição padrão (sem fator de normalização) da transformada de Fourier por senos, que é uma forma comum em exercícios:
onde \omega é a frequência real.
Explicação didática dessa fórmula:
A transformada de seno projeta a função f(x) nas funções \sin(\omega x), que são funções ímpares e ortogonais no semieixo [0,\infty).
A variável \omega indica a frequência: para cada \omega calcula-se quanto de componente senoidal de frequência \omega existe em f.
Não há fator front-end de normalização aqui; esse é um convênio comum. Se o enunciado usasse outro convênio (por exemplo com \sqrt{2/\pi}), bastaria multiplicar o resultado pelo fator correspondente.
Passo 3
Como f(x)=1 para 0\le x<1 e zero depois, a integral sobre [0,\infty) reduz-se a [0,1]. Portanto:
Aqui usei a informação do enunciado sobre o suporte de f (peguei esse dado do enunciado).
Passo 4
Agora calculamos a integral. Lembrete prático: uma antiderivada de \sin(\omega x) em relação a x é -\dfrac{\cos(\omega x)}{\omega}, porque ao derivar -\dfrac{\cos(\omega x)}{\omega} obtém-se \sin(\omega x) (a derivada de \cos(\omega x) é -\omega\sin(\omega x), que cancela o -1/\omega). Então:
Podemos dar formas alternativas úteis para a expressão usando identidades trigonométricas. Usando 1-\cos(\omega)=2\sin^2\!\big(\tfrac{\omega}{2}\big), obtemos
Essa forma às vezes é mais intuitiva para analisar comportamento para \omega pequeno ou para ver zeros da transformada.
Passo 7
Comportamento em \omega=0: a fórmula dada tem uma aparência de 0/0 quando \omega\to0. Avaliando o limite (por expansão em série ou L’Hôpital) temos
\lim_{\omega\to0}\frac{1-\cos(\omega)}{\omega}=0.
Explicação rápida: \cos(\omega)\approx 1-\dfrac{\omega^2}{2} para \omega pequeno, então 1-\cos(\omega)\approx \dfrac{\omega^2}{2} e o quociente fica \approx \dfrac{\omega}{2}\to0. Portanto a transformada é contínua em \omega=0 com valor 0.