Calcule os limites.
\lim _{u \rightarrow-\infty} \frac{u^{2}-8}{\sqrt{3 u^{4}+u}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando u \to -\infty da função
\frac{u^{2}-8}{\sqrt{3u^{4}+u}}.
Informações dadas:
  • A variável u tende para -\infty.
  • O numerador é u^{2}-8.
  • O denominador é \sqrt{3u^{4}+u}.
A pergunta é: qual é o valor numérico de \displaystyle\lim_{u\to -\infty}\frac{u^{2}-8}{\sqrt{3u^{4}+u}}?

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): para u muito grande em módulo, os termos de maior ordem (potências mais altas de u) dominam a expressão. Aqui o numerador tem ordem \,u^{2}\, e dentro da raiz o termo dominante é \,3u^{4}\,, então a raiz tem ordem \sqrt{u^{4}}=u^{2}. Então a razão tende para uma constante. Vamos fazer isso de forma rigorosa dividindo numerador e denominador por u^{2}.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por u^{2}. Mostrando o passo com cuidado:
\frac{u^{2}-8}{\sqrt{3u^{4}+u}} = \frac{u^{2}\!\left(1-\dfrac{8}{u^{2}}\right)}{\sqrt{u^{4}\!\left(3+\dfrac{1}{u^{3}}\right)}}.
Agora use que \sqrt{u^{4}}=u^{2} porque u^{2}\ge 0 para todo u. Assim
\sqrt{u^{4}\!\left(3+\dfrac{1}{u^{3}}\right)}=u^{2}\sqrt{3+\dfrac{1}{u^{3}}}.
Substituindo na fração:
\frac{u^{2}\!\left(1-\dfrac{8}{u^{2}}\right)}{u^{2}\sqrt{3+\dfrac{1}{u^{3}}}} = \frac{1-\dfrac{8}{u^{2}}}{\sqrt{3+\dfrac{1}{u^{3}}}}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite termo a termo. Quando u\to -\infty valem as convergências simples:
\frac{8}{u^{2}}\to 0 \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{u^{3}}\to 0.
Portanto o numerador 1-\dfrac{8}{u^{2}} tende para 1 e o radicando 3+\dfrac{1}{u^{3}} tende para 3. Assim
\lim_{u\to -\infty}\frac{1-\dfrac{8}{u^{2}}}{\sqrt{3+\dfrac{1}{u^{3}}}} =\frac{1-0}{\sqrt{3+0}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Verificação rápida de sinal/consistência: para u grande em módulo a expressão é positiva (numerador próximo de u^{2}>0 e denominador raiz positiva), então o limite positivo \dfrac{1}{\sqrt{3}} faz sentido.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{3}}

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