Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e pressupostos:
- A expressão envolve a constante
. Para que esteja bem definida para próximos de , assume-se que . - A única pergunta é encontrar o valor do limite quando
tende a .
Passo 2
Fazer uma mudança de variável para centralizar o comportamento em torno de
. Defina
então
quando
. Reescrevendo a expressão em
:
portanto o limite vira
Esta mudança facilita porque agora o comportamento pequeno aparece como potências de
.
Passo 3
Manipular a expressão de forma a usar limites notáveis. Podemos escrever
Além disso,
Então o limite é
Passo 4
Apresentar e justificar os limites notáveis que vamos usar.
- É conhecido (ou pode-se ver pela série de Taylor de
ou pela definição de derivada) que
Isto significa que a derivada de
em
vale
.
- Para
com podemos escrever . Usando isso,
Fazendo a substituição
(onde
quando
), obtemos
Ou seja, o limite notável é
Passo 5
Aplicar os limites notáveis à expressão obtida no Passo 3. Temos
e também
Portanto, usando que limite do produto é produto dos limites,
Passo 6
Interpretação final e checagem: o resultado faz sentido para diferentes
. Por exemplo, se
então
e o limite é
, o que ocorre porque
e
coincidem. Se
então
e o limite é
, compatível com expandir
.