Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{e^{x-1}-a^{x-1}}{x^{2}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to1}\left(\frac{e^{x-1}-a^{x-1}}{x^{2}-1}\right).
Informações dadas e pressupostos:
  • A expressão envolve a constante a. Para que a^{x-1} esteja bem definida para x próximos de 1, assume-se que a>0.
  • A única pergunta é encontrar o valor do limite quando x tende a 1.

Passo 2

Fazer uma mudança de variável para centralizar o comportamento em torno de x=1. Defina
h = x-1,
então h\to0 quando x\to1. Reescrevendo a expressão em h:
x^2-1 = (x-1)(x+1) = h(2+h),
portanto o limite vira
\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-a^{h}}{h(2+h)}.
Esta mudança facilita porque agora o comportamento pequeno aparece como potências de h.

Passo 3

Manipular a expressão de forma a usar limites notáveis. Podemos escrever
\frac{e^{h}-a^{h}}{h(2+h)}=\frac{1}{2+h}\cdot\frac{e^{h}-a^{h}}{h}.
Além disso,
\frac{e^{h}-a^{h}}{h}=\frac{e^{h}-1}{h}-\frac{a^{h}-1}{h}.
Então o limite é
\lim_{h\to0}\left(\frac{1}{2+h}\left[\frac{e^{h}-1}{h}-\frac{a^{h}-1}{h}\right]\right).

Passo 4

Apresentar e justificar os limites notáveis que vamos usar.
  • É conhecido (ou pode-se ver pela série de Taylor de e^{t} ou pela definição de derivada) que
\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Isto significa que a derivada de e^{t} em t=0 vale 1.
  • Para a^{t} com a>0 podemos escrever a^{t}=e^{t\ln a}. Usando isso,
\frac{a^{t}-1}{t}=\frac{e^{t\ln a}-1}{t}.
Fazendo a substituição u=t\ln a (onde u\to0 quando t\to0), obtemos
\lim_{t\to0}\frac{a^{t}-1}{t}=\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\ln a = 1\cdot\ln a=\ln a.
Ou seja, o limite notável é
\lim_{t\to0}\frac{a^{t}-1}{t}=\ln a.

Passo 5

Aplicar os limites notáveis à expressão obtida no Passo 3. Temos
\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}=1,\qquad \lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}=\ln a,
e também
\lim_{h\to0}\frac{1}{2+h}=\frac{1}{2}.
Portanto, usando que limite do produto é produto dos limites,
\lim_{h\to0}\frac{1}{2+h}\left[\frac{e^{h}-1}{h}-\frac{a^{h}-1}{h}\right] = \frac{1}{2}\left(1-\ln a\right).

Passo 6

Interpretação final e checagem: o resultado faz sentido para diferentes a. Por exemplo, se a=e então \ln a=1 e o limite é 0, o que ocorre porque e^{x-1} e a^{x-1}=e^{x-1} coincidem. Se a=1 então \ln a=0 e o limite é 1/2, compatível com expandir e^{h}-1\approx h.

Resposta

\dfrac{1-\ln a}{2}

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