Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas: o numerador é o polinômio
e o denominador é o polinômio
. O que se pede é o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro passo prático: testar substituição direta para ver se a expressão é definida em
ou se temos uma forma indeterminada. Calcular o numerador e o denominador em
.
Numerador em
:
Denominador em
:
Como obtemos
, estamos numa forma indeterminada, então não podemos simplesmente substituir. Quando aparece
em limites com polinômios, a técnica típica é fatorar os polinômios e cancelar fatores comuns que causam a indeterminação.
Passo 3
Factorizar o denominador
. Pelo Teorema do Resto / Raízes racionais, testam-se raízes racionais simples como
. Testando
:
logo
é fator. Fazer a divisão sintética (ou divisão de polinômios) por
.
Dividindo
por
obtemos o quociente
. Assim
O polinômio quadrático se fatoriza como
Portanto o denominador fatorado é
Passo 4
Agora fatorar o numerador
. Já sabemos que
anula o numerador (ver Passo 2), então
é fator. Dividindo o numerador por
(divisão sintética):
Coeficientes:
. Dividindo por
obtemos quociente com coeficientes
e resto
. Ou seja
Procurar fatores adicionais no cúbico
. Testar
:
logo
é fator. Dividindo o cúbico por
(divisão sintética) obtemos o quociente
, isto é
. Assim
Portanto o numerador fatorado é
Passo 5
Substituir as fatorações na fração original:
Para
podemos cancelar os fatores comuns
e
. A expressão simplifica para
Cancelamento explica-se porque os zeros comuns no numerador e denominador criavam uma descontinuidade removível; ao fatorar e cancelar obtemos a forma simplificada que coincide com a função original em todas as proximidades de
(exceto no próprio ponto se a função original não estivesse definida lá).
Passo 6
Agora que temos a forma simplificada válida em um entorno de
, avaliar o limite é só substituir
nessa expressão: