Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{4}-4 x^{3}+8 x^{2}-20 x+15}{x^{3}-2 x^{2}-5 x+6}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando x tende a 3:
\lim_{x\to 3}\frac{x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-20x+15}{x^{3}-2x^{2}-5x+6}.
Informações dadas: o numerador é o polinômio x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-20x+15 e o denominador é o polinômio x^{3}-2x^{2}-5x+6. O que se pede é o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro passo prático: testar substituição direta para ver se a expressão é definida em x=3 ou se temos uma forma indeterminada. Calcular o numerador e o denominador em x=3.
Numerador em x=3:
3^{4}-4\cdot3^{3}+8\cdot3^{2}-20\cdot3+15 =81-108+72-60+15=0.
Denominador em x=3:
3^{3}-2\cdot3^{2}-5\cdot3+6 =27-18-15+6=0.
Como obtemos 0/0, estamos numa forma indeterminada, então não podemos simplesmente substituir. Quando aparece 0/0 em limites com polinômios, a técnica típica é fatorar os polinômios e cancelar fatores comuns que causam a indeterminação.

Passo 3

Factorizar o denominador x^{3}-2x^{2}-5x+6. Pelo Teorema do Resto / Raízes racionais, testam-se raízes racionais simples como x=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Testando x=1:
1^{3}-2\cdot1^{2}-5\cdot1+6=1-2-5+6=0,
logo x-1 é fator. Fazer a divisão sintética (ou divisão de polinômios) por x-1.
Dividindo x^{3}-2x^{2}-5x+6 por x-1 obtemos o quociente x^{2}-x-6. Assim
x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)(x^{2}-x-6).
O polinômio quadrático se fatoriza como
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Portanto o denominador fatorado é
x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)(x-3)(x+2).

Passo 4

Agora fatorar o numerador x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-20x+15. Já sabemos que x=3 anula o numerador (ver Passo 2), então x-3 é fator. Dividindo o numerador por x-3 (divisão sintética):
Coeficientes: 1,\,-4,\;8,\,-20,\;15. Dividindo por 3 obtemos quociente com coeficientes 1,\,-1,\;5,\,-5 e resto 0. Ou seja
x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-20x+15=(x-3)(x^{3}-x^{2}+5x-5).
Procurar fatores adicionais no cúbico x^{3}-x^{2}+5x-5. Testar x=1:
1-1+5-5=0,
logo x-1 é fator. Dividindo o cúbico por x-1 (divisão sintética) obtemos o quociente x^{2}+0x+5, isto é x^{2}+5. Assim
x^{3}-x^{2}+5x-5=(x-1)(x^{2}+5).
Portanto o numerador fatorado é
x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-20x+15=(x-3)(x-1)(x^{2}+5).

Passo 5

Substituir as fatorações na fração original:
\frac{x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-20x+15}{x^{3}-2x^{2}-5x+6} = \frac{(x-3)(x-1)(x^{2}+5)}{(x-1)(x-3)(x+2)}.
Para x\neq1,3,-2 podemos cancelar os fatores comuns (x-3) e (x-1). A expressão simplifica para
\frac{x^{2}+5}{x+2}.
Cancelamento explica-se porque os zeros comuns no numerador e denominador criavam uma descontinuidade removível; ao fatorar e cancelar obtemos a forma simplificada que coincide com a função original em todas as proximidades de x=3 (exceto no próprio ponto se a função original não estivesse definida lá).

Passo 6

Agora que temos a forma simplificada válida em um entorno de x=3, avaliar o limite é só substituir x=3 nessa expressão:
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}+5}{x+2}=\frac{3^{2}+5}{3+2}=\frac{9+5}{5}=\frac{14}{5}.

Resposta

\dfrac{14}{5}

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