Determine o percentil X^{2} que é requerido para construir cada uma das seguintes ICs:
a) Nível de confiança =95 \%, grau de liberdade =24, unilateral (superior)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se o percentil da distribuição Qui‑quadrado necessário para construir uma IC unilateral (superior).
  • Nível de confiança =95\%.
  • Grau de liberdade =24.
Resumo do pedido em uma frase: encontrar o valor x tal que esse percentil da distribuição \chi^2 é o crítico usado na construção da IC unilateral superior com confiança 95\%.

Passo 2

Definições e notação importantes (sem pular etapas):
  • Denotar por \chi^2_{p,\nu} o percentil da distribuição Qui‑quadrado com \nu graus de liberdade tal que
P\big(\chi^2 \le \chi^2_{p,\nu}\big)=p.
Ou seja, \chi^2_{p,\nu} é o quantil com massa acumulada p.
  • Para uma amostra de tamanho n da normal, a estatística
Q=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}
tem distribuição \chi^2 com \nu=n-1 graus de liberdade. (Isto é a peça padrão usada para construir intervalos de confiança para \sigma^2.)

Passo 3

Raciocínio que leva ao percentil requerido (por que aparece esse quantil):
  • Para construir uma IC unilateral superior para \sigma^2 com nível 1-\alpha queremos um limite U(S^2) tal que
P\big(\sigma^2 \le U(S^2)\big)=1-\alpha.
  • Tomando U(S^2)=\dfrac{(n-1)S^2}{c} (forma usual), calculemos a probabilidade:
P\Big(\sigma^2 \le \frac{(n-1)S^2}{c}\Big) = P\Big(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \ge c\Big) = P\big(Q \ge c\big).
  • Como P\big(Q \ge c\big)=1-P\big(Q \le c\big)=1-F_Q\text{(c)}, para que isso valha 1-\alpha precisamos de
1-F_Q\text{(c)}=1-\alpha \quad\Rightarrow\quad F_Q\text{(c)}=\alpha.
  • Portanto c tem de ser o quantil que satisfaz P(\chi^2 \le c)=\alpha, isto é
c=\chi^2_{\alpha,\nu}.
  • Conclusão: para uma IC unilateral superior com nível 1-\alpha usa‑se o percentil \chi^2_{\alpha,\nu} (o quantil de cauda inferior com área \alpha).

Passo 4

Aplicando os números dados:
  • Aqui 1-\alpha=0{,}95 logo \alpha=0{,}05.
  • O grau de liberdade é \nu=24.
  • Pelo passo anterior o percentil requerido é
\chi^2_{0,05,\,24}.
  • Consultando uma tabela da distribuição Qui‑quadrado (valor padrão em tabelas estatísticas), obtém‑se
\chi^2_{0,05,\,24}\approx 13{,}848.
(ou seja, o ponto tal que P(\chi^2_{24}\le 13{,}848)\approx0{,}05. O valor foi retirado de uma tabela padrão de \chi^2.)

Passo 5

Observação prática e como usar esse número na prova (passo a passo curto):
  • Se a sua IC unilateral superior para \sigma^2 é da forma (0,\;U), então com \nu=24 e S^2 amostral
U=\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0,05,\,24}}=\frac{24\,S^2}{13{,}848}.
  • Em outras palavras: coloque 13{,}848 no denominador para obter o limite superior da IC com 95\% de confiança.

Resposta

\chi^2_{0,05,\,24}\approx 13{,}848

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